反证法证明根号2是无理数证明不来啦

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/04 05:06:11

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反证法证明根号2是无理数证明不来啦
反证法证明根号2是无理数
证明不来啦

反证法证明根号2是无理数证明不来啦
设根号2是有理数,即可以写成两个不能约分的整数的商
设根号2=p/q,两边平方,得
p²/q²=2
p²=2q²
∴p是偶数
设p=2m
(2m)²=2q²
4m²=2q²
q²=2m²
∴q也是偶数
这与p,q不能约分矛盾
∴根号2不是有理数,是无理数

若根号2是有理数，
有理数即是分数，即它可以表示为不可约的（即互质的）两个整数之比，
设√2＝m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）
所以（m/n）^2=2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2

全部展开

若根号2是有理数，
有理数即是分数，即它可以表示为不可约的（即互质的）两个整数之比，
设√2＝m/n（m、n为不为零的整数，m、n互质）
所以（m/n）^2=2
所以 m^2/n^2=2
所以 m^2=2*n^2
所以 m^2是偶数，设m=2k（k是整数）
所以 m^2=4k^2=2n^2
所以 n^2=2k^2
所以 n是偶数
因为 m、n互质
所以矛盾
所以根号2不是有理数，它是无理数

收起

设√2是有理数，则√2可以写成最简分数（不可约）p/q
所以√2=p/q

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