求证：根号2是无理数.（请用反证法或用逆否命题证明）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 03:01:13
求证：根号2是无理数.（请用反证法或用逆否命题证明）
求证：
根号2是无理数.
（请用反证法或用逆否命题证明）
求证：根号2是无理数.（请用反证法或用逆否命题证明）
这题毕达哥斯拉证明过
假设边长为1的正方形的对角线可以写成整数与整数之比（P：Q）且PQ没有公约数（当Q=1时,P：Q就是整数
勾股定理：(P/Q)^2=1^2+1^2
即P^2=2Q^2
因为2Q^2是偶数即P^2是偶数所以P是偶数（任一奇数的平方也是奇数）
因为PQ没有公约数所以Q是奇数p是偶数.设P=2a,P^2=4a^2=2p^2
Q^2=2a^2
即Q^2是偶数Q又是偶数Q又是奇数所以不能用整数和整数比表示所以是无理数
写死拉!
反证法：
假设√2 是有理数，则有，√2=p/q ,pq是互质的正整数
所以p=√2q
两边同时平方
p^2=2q^2
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
所以可以将p表示为2r（r是整数）
代入
4r^2=2q^2,
即
q^2=2r^2.
所以q也是偶数。这...
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反证法：
假设√2 是有理数，则有，√2=p/q ,pq是互质的正整数
所以p=√2q
两边同时平方
p^2=2q^2
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
所以可以将p表示为2r（r是整数）
代入
4r^2=2q^2,
即
q^2=2r^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
所以原假设不成立
即√2是无理数
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假设√2是有理数，不妨设√2=p/q,(其中p,q是互质的正整数，如果不互质，总可以相约将其变为互质的。
则由q√2=p
平方得2q^2=p^2
知p^2是偶数，则p是偶数。设其为2k,k为正整数。
代入得
q^2=2k^2
知q也是偶数，与题设矛盾，故有√2是无理数...
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假设√2是有理数，不妨设√2=p/q,(其中p,q是互质的正整数，如果不互质，总可以相约将其变为互质的。
则由q√2=p
平方得2q^2=p^2
知p^2是偶数，则p是偶数。设其为2k,k为正整数。
代入得
q^2=2k^2
知q也是偶数，与题设矛盾，故有√2是无理数
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