用反证法证明√2是无理数

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2025/02/02 20:55:09

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用反证法证明√2是无理数

用反证法证明√2是无理数
假定√2是有理数,即√2 = p/q,在这里p和q是没有公约数的正整数（没有除1以外的其它正整数公因子）,于是 p = √2q ,
即p² = 2q²
因为p²是个整数的2倍,可知p²是个偶数,
从而p必定是偶数.令p=2r,
于是前面的等式成为4r²=2q²,
即q²=2r²,可知q²是个偶数,从而q必定是偶数.由于p、q都是偶数,它们有一个公约数2,这与最初的假设p,q是没有公约数的正整数相矛盾.
于是,由√2是有理数的假定引出了不可能的情况,因而这个假定必然是不对的.

如是√2有理数，刚可以表示为p/q（p，q均为整数且互质） 
则p^2=2q^2 
因为2q^2是偶数，所以p＾2是偶数,所以p是偶数 
设p=2a 
则4a^2＝2q^2 
q^2=2a^2 
所以q也是偶数 
这和a /b互质矛盾。 
所以，根号2是无理数。

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