已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D,AD与⊙O相交于点F,CG⊥AB,垂足为G.求证:BG*GA=DF*DA
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 12:20:01
已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D,AD与⊙O相交于点F,CG⊥AB,垂足为G.求证:BG*GA=DF*DA
已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D,AD与⊙O相交于点F,CG⊥AB,垂足为G.求证:BG*GA=DF*DA
已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过C的切线与AB的延长线交于点E,AD⊥EC,垂足为D,AD与⊙O相交于点F,CG⊥AB,垂足为G.求证:BG*GA=DF*DA
证:连接AC,CB
∵⊙O中,AB是直径
∴∠ACB=90°(直径对的圆周角90°)
“∵CG⊥AB于G
∴CG²=GA•GB(射影定理)”
【若没有学过射影定理,“”内部分改为
∵CG⊥AB于G
∴∠AGC=∠CGB=90°
∵Rt△CBG中,
∠GBC+∠BCG=90°
∠ACG+∠BCG=90°
∴∠GBC=∠ACG
在△ACG与△CGB中
∠AGC=∠CGB
∠ACG=∠GBC
∴△ACG∽△CGB
∴AG/CG=CG/BG,
即CG²=GA•GB】
∵ED切⊙O于C
∴∠DCA=∠CBG(弦切角等于其所夹的弧对的圆周角)
【弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角.
(∠ACE为弦切角,∠ACE夹的弧是弧AC,而∠CBA就是弧AC对的圆周角)
∵∠CBA=∠ACG
∴∠ACD=∠ACG
∵AD⊥ED于D
∴∠ADC=∠AGC=90°
在△ADC与△AGC中
∠ACD=∠ACG
∠ADC=∠AGC
AC=AC
∴△ADC≌△AGC
∴CD=GC
∴AG•BG=CD²=GC²
又∵切线DC切⊙O于C,割线DFA交⊙O于F,A
∴DC²=DF•DA(切割线定理或圆幂定理)
∴BG•GA=DF•DA
【图在上传中请稍等】