已知定义在R上的函数f满足f（a+b）=f（a）+f（b）,那么f是连续的吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/14 05:13:40
已知定义在R上的函数f满足f（a+b）=f（a）+f（b）,那么f是连续的吗?
已知定义在R上的函数f满足f（a+b）=f（a）+f（b）,那么f是连续的吗?
已知定义在R上的函数f满足f（a+b）=f（a）+f（b）,那么f是连续的吗?
可以不是吧.
根据f(a+b)=f(a)+f(b),可以推出f(a-b)=f(a)-f(b).
再用数学归纳法可以得出f(ka)=kf(a).
最后可以得到 f(x)=f(1)*x (x∈Q).
然后就推不下去了.
假如令f(1)=1,f(π)=0,
则有f(p+qπ)=p(p,q∈Q).
看起来可以满足
显然这个f(x)不是连续的.
但是对于其他无理数的情况,我就不知道了.
它的原始模型是：正比例函数，是连续的。
为什么不是？
(1)令a=b=0得f(0)=0
令a=-b=x
则f(0)=f(x)+f(-x)=0
则f(x)为奇函数
(2)设a+b=x1,a=x2,
则f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)
(因x>0时,f(x)<0)
则当x1>x2时,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0
则f(x)为减函数
则f(x)在[-3,3]上的...
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(1)令a=b=0得f(0)=0
令a=-b=x
则f(0)=f(x)+f(-x)=0
则f(x)为奇函数
(2)设a+b=x1,a=x2,
则f(x1)=f(x2)+f(x1-x2)
(因x>0时,f(x)<0)
则当x1>x2时,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0
则f(x)为减函数
则f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)和f(3)
f(1+1)=f(1)+f(1)=-4
f(3)=f(2)+f(1)=-4-2=-6
有f(x)为奇函数则f(-3)=6
则f(X)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-6
收起
令：a=b=0,则：f(0)=0;
b=-a,则：f(0)=f(a)+f(-a),因此f(-a)=-f(a);
所以：f 在R上为奇函数。所以f 不一定连续，例如分段函数：f=1/x(x≠0
时),f=0(x=0时)
连续的函数如：f=kx (k≠0)
（注意：如果函数f（x）在x0处附近有定义，并且在x0的左右极限都等于f(x0)，那么我们称函数f(x)在...
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令：a=b=0,则：f(0)=0;
b=-a,则：f(0)=f(a)+f(-a),因此f(-a)=-f(a);
所以：f 在R上为奇函数。所以f 不一定连续，例如分段函数：f=1/x(x≠0
时),f=0(x=0时)
连续的函数如：f=kx (k≠0)
（注意：如果函数f（x）在x0处附近有定义，并且在x0的左右极限都等于f(x0)，那么我们称函数f(x)在点x0处连续。）
收起
f绝对是连续的
天，我竟然和3楼做的一样……冷汗，无语~
9月28，饭生日。