椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,T（1,3/2）为椭圆上一点,且TF2垂直于x轴.求椭圆E的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 19:01:07
椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,T（1,3/2）为椭圆上一点,且TF2垂直于x轴.求椭圆E的方程
椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,T（1,3/2）为椭圆上一点,且TF2垂直于x轴.求椭圆E的方程
椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A1,A2,T（1,3/2）为椭圆上一点,且TF2垂直于x轴.求椭圆E的方程
TF2⊥x轴意味着F2的横坐标和T一样,故F2为（1,0）,则c=1,F1（-1,0）【跟F2对称关系】,F1F2=2,TF2=3/2
连接TF1
那么TF1=√（TF2^2+F1F2^2）=√（2^2+(3/2)^2）=5/2
TF1+TF2=3/2+5/2=4=2a
a=2 b^2=a^2-c^2=2^2-1=3
∴椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1
TF2垂直于X 意味着T的横坐标和F2一样 而F2的横坐标是椭圆参数里的C （焦距）
因为C2=A2-B2 =1
又把点T带入方程得到1/A2 +(9/4)/B2=1
解上述两方程 求出A B
A2=4 B2=3
所以A=2 B=3开根号
e=c/a=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2=PF1/PF2 (利用正弦定理）,
所以PF1=ePF2
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],
整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a-c≤PF2≤a+c,
（点P在左端点时PF2取到最小值a-c，在右端点时PF2取到最大值a+c）
全部展开
e=c/a=sin∠PF2F1/sin∠PF1F2=PF1/PF2 (利用正弦定理）,
所以PF1=ePF2
又e=2c/2a=2c/(PF1+PF2)=2c/(ePF2+PF2)=2c/[(e+1)PF2],
整理得PF2=2c/[e(e+1)]
又a-c≤PF2≤a+c,
（点P在左端点时PF2取到最小值a-c，在右端点时PF2取到最大值a+c）
即a-c≤2c/[e(e+1)] ≤a+c,即1-e≤2e/[e(e+1)] ≤1+e
∴√2-1≤e<1
综上e的范围为[√2-1,1)
收起
由椭圆定义：
TF1+TF2=2a
T(1,3/2) TF2垂直x轴，所以角TF2F1是直角。
在直角三角形F1F2T中：设F1( -c,0) F2(c,0) T(1,3/2)
(F1F2)^2+(F2T)^2=(F1T)^2
(2c)^2+(c-1)^2+9/4=(c+1)^2+9/4
4c^2=4c
c=1<...
全部展开
由椭圆定义：
TF1+TF2=2a
T(1,3/2) TF2垂直x轴，所以角TF2F1是直角。
在直角三角形F1F2T中：设F1( -c,0) F2(c,0) T(1,3/2)
(F1F2)^2+(F2T)^2=(F1T)^2
(2c)^2+(c-1)^2+9/4=(c+1)^2+9/4
4c^2=4c
c=1
TF1+TF2=2a
TF1=根号[(c+1)^2+9/4]=根号(4+9/4)=5/2
TF2=根号[(c-1)^2+9/4]=根号(9/4)=3/2
2a=5/2+3/2
a=2
b^2=a^2-c^2=2^2-1=3
x^2/4+y^2/3=1
收起