如图,三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//EC,且EC=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）DE=DA;(2)平面BDM垂直平面ECA（3）平面DEA垂直平面ECA
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 14:31:19
如图,三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//EC,且EC=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）DE=DA;(2)平面BDM垂直平面ECA（3）平面DEA垂直平面ECA
如图,三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//EC,且EC=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）DE=DA;
(2)平面BDM垂直平面ECA
（3）平面DEA垂直平面ECA
如图,三角形ABC为正三角形,EC垂直平面ABC,BD//EC,且EC=CA=2BD,M是EA的中点,求证：（1）DE=DA;(2)平面BDM垂直平面ECA（3）平面DEA垂直平面ECA
(1)取EC的中点F,连结DF,
因为 EC⊥平面ABC,故EC⊥BC,易知DF‖BC
所以 DF⊥EC,在Rt△EFD和Rt△DBA中
因 EF= EC=BD,FD=BC=AB,
所以 Rt△EFD≌Rt△DBA,
所以 DE=DA.
(2)取CA的中点N,连结MN、BN.
则MN EC,又因BD EC,
所以 MN DB.
所以点N在平面BDM内,又EC⊥平面ABC,故EC⊥BN.
又因 CA⊥BN,所以 BN⊥平面ECA且BN MNBD.
所以平面MNBD⊥平面EAC.
(3)因为DM‖BN,BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.
又因DM 平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.
设AB=BC=AC=CE=2BD=2,则BD=1
1、易得AD=√5，DE^2=(CE-BD)^2+BC^2=5 => DE=√5
所以AD=DE
2、M是AE的中点，DA=DE => DM⊥AE
连接CM，则CM=√2,DM=√3,CD=√5
所以DM⊥CM
因为DM在平面BDM内
所以平面BDM垂直平面ECA
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设AB=BC=AC=CE=2BD=2,则BD=1
1、易得AD=√5，DE^2=(CE-BD)^2+BC^2=5 => DE=√5
所以AD=DE
2、M是AE的中点，DA=DE => DM⊥AE
连接CM，则CM=√2,DM=√3,CD=√5
所以DM⊥CM
因为DM在平面BDM内
所以平面BDM垂直平面ECA
3、因为DM在平面ADE内
所以平面ADE垂直平面ECA
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