在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:1/AB+1/AC=1/BC
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/08/30 10:49:51
在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:1/AB+1/AC=1/BC
在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:1/AB+1/AC=1/BC
在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证:1/AB+1/AC=1/BC
证明:
分析如下,
要证1/a=1/b+1/c由正旋定理只须证明1/sinA=1/sinB+1/sinC即可.
只须证sinA(sinB+sinC)=sinBsinC
因为
sinA(sinB+sinC)-sinBsinC
=2sinAsin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]-sin2Asin4A
=2sinAsin[(π-A)/2]cos[(2A-4A)/2]-sin2Asin4A
=2sinAcos(A/2)cosA-sin2Asin4A
=sin2A[cos(A/2)-sin4A]
又 ∠A:∠B:∠C=1:2:4
所以 7A=π
A=π/7
所以cos(A/2)-sin4A=cos(π/14)-sin(4π/7)
=cos(π/14)-sin(π/2+π/14)
=cos(π/14)-cos(π/14)
=0
所以最后一个式子成立,反推得出原命题成立
过A作直线AD交BC延长线于D 使角DAC=角BAC 因为角B=2角BAC=角BAD BD=AD
因为角BCA=4/7*180度 角CAD=1/7*180 度 角CAD=角BCA—角CAD=3/7*180度
在三角形CAD中 角ACD=180—1/7*180—3/7*180=3/7*180度=角ADC AC=AD
因为AC平分角BAC AB...
全部展开
过A作直线AD交BC延长线于D 使角DAC=角BAC 因为角B=2角BAC=角BAD BD=AD
因为角BCA=4/7*180度 角CAD=1/7*180 度 角CAD=角BCA—角CAD=3/7*180度
在三角形CAD中 角ACD=180—1/7*180—3/7*180=3/7*180度=角ADC AC=AD
因为AC平分角BAC AB/AD=BC/CD AB/AC=BC/CD CD=AC*BC/AB
因为角B=2/7*180度=角BAD BD=AD BC+CD=AD=AC BC+AC*BC/AB=AC
AB*BC+AC*BC=AC*AB 两边同除以AB*BC*AC
1/AC+1/AB=1/BC
收起