函数的简单性质f(X)对任意的x,y属于R有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x）由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)又f(1)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:27:59
函数的简单性质f(X)对任意的x,y属于R有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x）由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)又f(1)
函数的简单性质
f(X)对任意的x,y属于R有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x）
由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)
又f(1)
函数的简单性质f(X)对任意的x,y属于R有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x）由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)又f(1)
首先,令：x=y=0,则f(0)=0
其次令：y=-x,则,f(x)+f(-x)=f(0),所以：f(-x)=-f(x),即f(x)是定义在R上的
奇函数；
当x>0时,不妨令任意x10,
所以：
f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)
=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1) （题目所给式子反向运用）
=-f(x2-x1),即：f(x1)-f(x2)=-f(x2-x1)；
又x>0时,f(x）0,即：f(x1)-f(x2)>0,亦即：
f(x1)>f(x2).
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,故其在对称区间上具有相同的单调性.所以
f(x)在R上为单调递减函数.
（注意：数学,应该有缜密的思维,否则,那就是无稽之谈.对于抽象函数,应该灵活利用已经条件进行拆并求解）
因为f(x)+f(y)=f(x+y),所以f(x-y)+f(y)=f(x),
即f(x)-f(y)=f(x-y),因为X>Y时f(x-y)》0,所以X>Y时，f(x)-f(y）>0,所以f(x）是R的单调减函数
1楼证法适合N、Z不适合R……
任取x1,x2属于R，且x1>x2，x1-x2>0
f(x2)-f(x1)=f(x1-x2)<0
所以f(x2)
由题：f(x+1)=f(x)+f(1) f(x+1)-f(x)=f(1)
又f(1)<0
所以 f(x+1)-f(x)<0
得证
由题意知，对任意的 x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y),
则取x=y=0代入得：f(0)+f(0)=f(0), 即f(0)=0；
同理取y=-x代入上式得：f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),由y的任意性知：此函数为奇函数；
又因为x>0,f(x)<0,
可任取x<0,那么-x>0,代入得f(-x）<0，
由奇函...
全部展开
由题意知，对任意的 x,y都满足f(x)+f(y)=f(x+y),
则取x=y=0代入得：f(0)+f(0)=f(0), 即f(0)=0；
同理取y=-x代入上式得：f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),由y的任意性知：此函数为奇函数；
又因为x>0,f(x)<0,
可任取x<0,那么-x>0,代入得f(-x）<0，
由奇函数知上式即为)-f(x)<0,化简得f(x)>0;
综上：x>0,f(x)<0=f(0),
x<0，f(x)>0=f(0),
所以f(x)为R上的奇函数。
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