利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 04:51:12
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式

利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,
利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成
∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2
我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,这样下去直接积或者坐标代换了之后都很难积啊
求教这个该怎么做好啊,

利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz,
使用高斯公式后,化简后被积函数跟积分区域的圆柱体挺难构造关系,就按投影一步一步算吧.
∑被积区域可以看成3个平面围成,S1:z=R,S2:z=-R,S3:x^2+y^2=R^2.
可以看出S1,S2只在xoy平面内有投影,S3只在yoz平面有投影,所以积分dxdy部分只需考虑S1(令其对应积分值为I1),S2(令其对应积分值为I2),积分dydz只需考虑S3(令其对应积分值为I3).
I=I1+I2+I3
I1=(S1)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I2=(S2)∑∫∫z^2/(x^2+y^2+z^2)dxdy
I3=(S3)∑∫∫z/(x^2+y^2+z^2)dydz
将S1,S2对应曲面方程z=R,z=-R代入I1,I2中(Dxy表示曲面在xoy投影,Dyz表示曲面在yoz投影).
I1=(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
由于曲面是外侧,S2法相向量与坐标系方向夹角是钝角,曲面带入时积分值应加一个负号.
则I2=-(Dxy)∫∫(-R)^2/(z^2+y^2+(-R)^2)dxdy
=-(Dxy)∫∫R^2/(z^2+y^2+R^2)dxdy
=-I1
则I1+I2=0
I=I3,计算I3值即可,即∑为S3:x^2+y^2=R^2,所求积分I3=(S3)∑∫∫x/(x^2+y^2+z^2)dydz.
由于∑关于yoz平面对称,被积函数关于x为奇函数,
所以,将S3对应曲面方程x^2+y^2=R^2代入I3时,
得I3=2(Dyz)∫∫(R^2-y^2)^0.5/(R^2+z^2)dydz
画图可看出,曲面在yoz平面投影(Dyz)是个半径为r的正方形,y、z取值范围:-R

利用高斯公式计算曲面积分I=∫∫(∑)xdydz+ydzdx+zdxdy ,其中∑为半球面z=√(R^2-x^2-y^2) 的上侧 利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成希望用高斯公式, 利用高斯公式计算下列曲面积分 利用高斯公式计算曲面积分∑xdydz+ydzdx+zdxdy,其中∑为球面(x-a)^2+(y-b) ^2+(z-c) ^2的上半部分之上侧 利用高斯公式求曲面积分 利用高斯公式求曲面积分 利用高斯公式求曲面积分, 利用高斯定理计算曲面积分 高斯公式计算曲面积分 利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=-R所围成∑取表面外侧,答案是Rπ^2/2我直接利用高斯公式得原式=∫∫∫z^2+y^2-x^2+2z(x^2+y^2)/(x^2+y^2+z^2)^2dxdydz, 一道高数题 利用高斯公式求曲面积分题 利用高斯公式计算 2xdydz+ydzdx-2012x^3dxdy,其中Σ为Ω:x^2+y^2+z^2≤1,z≥0的整个边界曲面,且取外且取外侧 曲面积分 高斯公式 计算第二型曲面积分∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy,其中S是曲面|x|+|y|+|z|=1的外侧. 高斯公式求曲面积分...求∫∫(xdydz+z^2dxdy)/(x^2+y^2+z^2),∑是由曲面x^2+y^2=R^2以及两平面z=R,z=-R所围城的立体的外表面.主要求解如何将分母变为一个常数, 曲面积分计算 利用gauss公式和stokes公式 一道利用高斯公式求解第二类曲面积分的题目被积项是(2xdydz+yzdzdx-z^2dxdy),S是由锥面z=(x^2+y^2)的二分之一次方 与半球面z=(2-x^2-y^2)的二分之一次方 所围成的区域边界曲面的外侧. 高数 曲面积分 高斯公式