正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的不用等体积的方法,用相似的方法怎么做

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/19 05:11:09

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已知：正四面体P-ABC高h,内切球O半径r
求证：r=h/4
证明：作△ABC的高CD、连结PD,作P在ABC上射影E则E在CD上,作C在PAB上射影F则F在PD上,PE与CF相交于球心O,则OE=OF=r,PE=CF=h,
设四面体棱长为1,则CD=PD=√3/2,ED=FD=1/3*√3/2=√3/6,PF=2/3*√3/2=√3/3,
Rt△PED中PE=√(PD^2-DE^2)=√[(√3/2)^2-(√3/6)^2]=√6/3=h,
∵△PFO∽△PED,∴OF/DE=PF/PE,∴OF=(√3/6)*(√3/3)/(√6/3)=√6/12=r,
∴r/h=(√6/12)/(√6/3)=1/4,即r=h/4,证毕.

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