如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC 与点N,连接MN求证：BM+CN=MN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 23:44:29
如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC 与点N,连接MN求证：BM+CN=MN
如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角,使其两边
分别交AB于点M,交AC 与点N,连接MN
求证：BM+CN=MN
如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于点M,交AC 与点N,连接MN求证：BM+CN=MN
证明：如图,延长NC到E,使CE=BM,连接DE,
∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,
∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,
又∵BM=CE,BD=CD,
∴△CDE≌△BDM,
∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,
∵在△DMN和△DEN中,
DM=DE
∠MDN=∠EDN=60°
DN=DN
∴△DMN≌△DEN,
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN
用同一法做。
做NK=NC且∠DNK=∠DNC,连接KD、MK
这时△DNC≌△DKN(SAS)
∴KD=CD=BD
∵∠NDC+∠BDM=60°
∴∠BDM=∠MDK
∴△BDM≌△KDM
∴∠MKN=∠MKD+∠NKD=∠ABD+∠ACD=90°+90°=180°
∴BM+CN=MN
证：
延长AB致E使得BE=CN，连接DE
∠DBC=∠DCB=30°且DB=DC
∴∠DBA=∠DCA=90°
于是ΔDBE≌ΔDCN（SAS）
∴DN=DE且∠BDE=∠CDN
∴∠EDM=∠EDB+∠BDM=∠CDN+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°
∴ΔEDM≌ΔNDM（SAS）
∴MN=EM=BM+BE=BM+ CN
证毕
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．可以证明并计算出周长为6
作bd dc的中点qe，在哦连接mq，和ne qe，ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D为顶点作一个60°角，，所以mnqe是平行四边形，即mn=2分之1bc，所以：BM+CN=MN