在圆中的一点（非圆心）,经过此点最短的弦,为什么它垂直于经过此点最长的弦（直径）?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 04:54:30
在圆中的一点（非圆心）,经过此点最短的弦,为什么它垂直于经过此点最长的弦（直径）?
在圆中的一点（非圆心）,经过此点最短的弦,为什么它垂直于经过此点最长的弦（直径）?
在圆中的一点（非圆心）,经过此点最短的弦,为什么它垂直于经过此点最长的弦（直径）?
根据圆内相交弦定理：过圆内一点的任何一条弦被这个分成的两段之积为一定值 设圆内一点p,任意过p的一条弦被分为a,b两段 根据相交弦定理,姑且设这一定值为s 则ab＝s 求a+b最小 用均值定理a+b>=2√ab 以上取等号得条件是a＝b 故a＝b时,弦最短 连接圆心与点p,及弦与圆的交点与圆心 两条半径相等,为等腰三角形 底边点p为中点,所以根据等腰三角形性质,点p与圆心的连线为底边上的垂线,证毕
这个点与圆心连成一条直径，这是确定的，而要过该点作最短的弦，只有垂直于这条直径这一条
证明:令该点为P 圆心为O 过此点的直径是AB 过此点的任意一条弦为CD 连接OC OD 由相交弦定理 得 PC×PD=PA×PB 由均值不等式 得 PC+PD≥2√(PC×PD)=2√(PA×PB) 当且仅当PC=PD时等号成立 又OC=OD OP边公共 ∴△OCP全等于△ODP ∴∠OPC=∠OPD 又∠OPC+∠OPD=180° ∴∠OPC=180°÷2=90° 即AB⊥CD 原命题得证...
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证明:令该点为P 圆心为O 过此点的直径是AB 过此点的任意一条弦为CD 连接OC OD 由相交弦定理 得 PC×PD=PA×PB 由均值不等式 得 PC+PD≥2√(PC×PD)=2√(PA×PB) 当且仅当PC=PD时等号成立 又OC=OD OP边公共 ∴△OCP全等于△ODP ∴∠OPC=∠OPD 又∠OPC+∠OPD=180° ∴∠OPC=180°÷2=90° 即AB⊥CD 原命题得证
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