求证：无论m取何实数,代数式x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2在实数范围内不能分解成两个一次因式的积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 13:06:07
求证：无论m取何实数,代数式x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2在实数范围内不能分解成两个一次因式的积
求证：无论m取何实数,代数式x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2在实数范围内不能分解成两个一次因式的积
求证：无论m取何实数,代数式x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2在实数范围内不能分解成两个一次因式的积
反证法,假设可以分解为两个一次因式的乘积,具体如下,提供一种思路,仅供参考.
设可以分解为两个一次因式的乘积并设之为：
（ax+by+p）(cx+dy+q)=acx^2+(ad+bc)xy+bdy^2+(aq+cp)x+(bq+dp)y+pq
=x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2,对应项数前的系数相等得到：
ac=1,ad+bc=m,2=bd,3=aq+cp,3=bq+dp,2=pq
接下来：
c=1/a,d=2/b,q=2/p分别代入
ad+bc=m,3=aq+cp,3=bq+dp中得到：
2a/b +b/a=m,2a/p +p/a=3,2b/p +2p/b=3
三个式子化简下得到：
2a^2-mab+b^2=0,2a^2-3ap+p^2=0,2b^2-3bp+2p^2=0
现在的三个均是可以看做一元二次方程（譬如第一式子a看做自变量,b,m看做常数,同理：后面的两个式子均可以这样看）
现在只要验证三个式子的判别式是不是均大于等于0,保证a,b,c,d,p,q这些能取到实数,主要一个式子不成立,就不能取到.
对于第三个式子：判别式=9p^2-4*2*2p^2=-7p^2<0,无解,那么显然无法使得a,b,c,d,p,q这六个数均能取到实数,所以尽管m取值能保证到第一个式子成立,但整体无解,所以无论m取何实数,代数式x^2+mxy+2y^2+3x+3y+2在实数范围内不能分解成两个一次因式的积
解答如下