已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.（3）∠CAB=α,设直线CD与直线BE交点为G,在图①和图②中,分别求出∠BGD.（结果用含α

已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.（3）∠CAB=α,设直线CD与直线BE交点为G,在图①和图②中,分别求出∠BGD.（结果用含α
已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
（3）∠CAB=α,设直线CD与直线BE交点为G,在图①和图②中,分别求出∠BGD.（结果用含α的代数式表示）

已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.（3）∠CAB=α,设直线CD与直线BE交点为G,在图①和图②中,分别求出∠BGD.（结果用含α
分析：
（1）∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAE=∠CAD,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD（全等三角形对应边相等）
根据全等三角形对应边上的中线相等,可证△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论,思路不变．
（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS）
可得出∠CAN=∠BAM
所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等）
又∵∠BAC=∠DAE
所以∠MAN=∠DAE=∠BAC
所以△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形
所以∠PBD=∠AMN
所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等,两三角形相似）．
证明：（1）①∵∠BAC=∠DAE∴∠BAE=∠CAD,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD,得
∠ABE=∠ACD,BE=CD,
∵M、N分别是BE,CD的中点,
∴BM=CN．
又∵AB=AC,
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形．
（2）（1）中的两个结论仍然成立．
（3）在图②中正确画出线段PD,
由（1）同理可证△ABM≌△ACN,
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE,
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴∠PBD=∠AMN,
∴△PBD∽△AMN．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质,以及等腰三角形一个顶角相等,则底角相等的性质,还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）

△BAE和△CAD全等，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠BGC=a，∠BGD=90°-a，图2同理

（1）证明：∵∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
∵AB=AC，AD=AE．
∴△ABE≌△ACD．
∴BE=CD．
（2）证明：由（1）得△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC．<...

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（1）证明：∵∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
∵AB=AC，AD=AE．
∴△ABE≌△ACD．
∴BE=CD．
（2）证明：由（1）得△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．
∵M，N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC．
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
（3）（1）、（2）中的两个结论仍然成立．

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1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD（全等三角形对应边相等）
根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．

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1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD（全等三角形对应边相等）
根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．
（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．
（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS）
可得出∠CAN=∠BAM
所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等）
又∵∠BAC=∠DAE
所以∠MAN=∠DAE=∠BAC
所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形
所以∠PBD=∠AMN
所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．
证明：（1）①∵∠BAC=∠DAE∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．
（2）（1）中的两个结论仍然成立．
（3）在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴∠PBD=∠AMN，
∴△PBD∽△AMN．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）

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