已知函数fx =(x-a)lnx若函数在(0,+无穷)上为增函数,求a的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/24 11:32:27
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已知函数fx =(x-a)lnx若函数在(0,+无穷)上为增函数,求a的取值范围
已知函数fx =(x-a)lnx
若函数在(0,+无穷)上为增函数,求a的取值范围

已知函数fx =(x-a)lnx若函数在(0,+无穷)上为增函数,求a的取值范围
fx =(x-a)lnx
f'(x)=lnx+(x-a)/x
函数在(0,+无穷)上为增函数
∴f'(x)=lnx+(x-a)/x>=0
lnx+1-a/x>=0
lnx +1>=a/x
∵x>0
∴xlnx+x>=a
设g(x)=xlnx+x
g'(x)=lnx+1+1=lnx +2
令g'(x)>=0
∴lnx>=-2
x>=1/e²
∴g(x)增区间是[1/e²,+∞)减区间是(0,1/e²]
∴g(X)最小值=g(1/e²)=-1/e²
∴a

f'(x) =(x-a)/x+lnx=lnx+1-a/x>0
a令g(x)=x(lnx+1)
g'(x)=lnx+1+x/x=lnx+2=0
x=1/e^2时,y取得最小值g(1/e^2)=-1/e^2
所以a<-1/e^2

f'(x)=lnx+(x-a)/x≥0

xlnx+x≥a

设g(x)=xlnx+x,x>0

g'(x)=2+lnx

当x∈(0,1/e&#178;)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;

当x∈(1/e&#178;,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增

所以g(x)min=g(1/e&#178;)=-1/e&#178;

所以a≤-1/e&#178;