二次函数竞赛题试求实数a,b使得函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与vx轴的四个交点中相邻两点的距离相等
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 14:48:31
二次函数竞赛题试求实数a,b使得函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与vx轴的四个交点中相邻两点的距离相等
二次函数竞赛题
试求实数a,b使得函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与vx轴的四个交点中相邻两点的距离相等
二次函数竞赛题试求实数a,b使得函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与vx轴的四个交点中相邻两点的距离相等
a=0 b=-4
a=-4 b=0
y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a (a≠b)
y1=x²+ax+b与x轴的交点 0=x²+ax+b
x=-a+(a²-4b)^(1/2) (1)
x=-a-(a²-4b)^(1/2) (2)
y2=x²+bx+a与x轴的交点 0=x²+bx+a
x=-b+(b²-4a)^(1/2) (3)
x=-b-(b²-4a)^(1/2) (4)
与x轴的四个交点中相邻两点的距离相等
(1)=((3)+(4))/2=-b -a+(a²-4b)^(1/2)=-b b=2a-4 (5)
(4)=((1)+(2))/2=-a -b-(b²-4a)^(1/2)=-a a=2b-4 (6)
(1)-(2)=(3)-(4) 2(a²-4b)^(1/2)=2(b²-4a)^(1/2)
解得 a-b=0 (不合题意,舍去) a+b=-4 (7)
(5),(7)联立求解 a=0 b=-4
(6),(7)联立求解 a=-4 b=0
当a=0 b=-4 或者a=-4 b=0时,函数y1=x²+ax+b及y2=x²+bx+a与x轴的四个交点中相邻两点的距离相等.
如图所示，共有3种情况，令a＞b。 1.若y1的两根均小于y2，有AB=BC=CD,那么y1两根差=y2两根差，即 √Δ1=√Δ2；且两对称轴间距离为2AB，即（a-b）=√Δ1=√Δ2 a^2-4b=b^2-4a →（a-b）(a+b+4)=0 →a+b=-4 (a-b)^2=a^2-4b 有两组解，因a＞b，a=0,b=-4， 带入验证，图像与条件不符，舍去 2.若y1较大根大于y2较小根，如图2，由AB=BC=CD，知B在y1对称轴上，即点 （-a/2,0）在y2上 a^2-4b=b^2-4a →（a-b）(a+b+4)=0 →a+b=-4 （-a/2）^2-ab/2+a=0 → a/4*(a-2b+4)=0 有两组解，因a＞b，a=0,b=-4 带入验证，符合 3.y2的两根在y1两根之间，则两函数对称轴重合，则a=b，两函数一样，不符合 所以a=0,b=-4 同理，令a<b，a=-4,b=0 综上，两函数为y1=x^2-4x,y2=x^2-4，或y1=x^2-4,y2=x^2-4x
我算出来是A=-4,B=0 对不对呀