在三角形ABC中,a(cosB+cosC)=b+c,其外接圆半径为1,求ABC周长取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 12:45:25
在三角形ABC中,a(cosB+cosC)=b+c,其外接圆半径为1,求ABC周长取值范围
在三角形ABC中,a(cosB+cosC)=b+c,其外接圆半径为1,求ABC周长取值范围
在三角形ABC中,a(cosB+cosC)=b+c,其外接圆半径为1,求ABC周长取值范围
根据正弦定理：sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC
sinAcosB+sinAcosC =sin(A+C)+sin(A+B)
sinAcosB+sinAcosC =sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB
得：cosAsinC+cosAsinB=0
cosA(sinB+sinC)=0
因为0a=2
b^2+c^2≥2bc,4≥2bc
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc=4+2bc≤4+4=8
所以2
a(cosB+cosC)=b+c
由余弦定理知：a×(a2+c2-b2)/(2ac)+a×(a2+b2-c2)/(2ab)=b+c
化简得a2b+bc2-b3+a2c+b2c-c3=2b2c+2bc2
约分得a2b-b3+a2c-c3=b2c+bc2
即(a2b+a2c)-(b3+c3)-(b2c+bc2)=0
(b+c)a2-(b+C)(b2-bc...
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a(cosB+cosC)=b+c
由余弦定理知：a×(a2+c2-b2)/(2ac)+a×(a2+b2-c2)/(2ab)=b+c
化简得a2b+bc2-b3+a2c+b2c-c3=2b2c+2bc2
约分得a2b-b3+a2c-c3=b2c+bc2
即(a2b+a2c)-(b3+c3)-(b2c+bc2)=0
(b+c)a2-(b+C)(b2-bc+c2)-(b+c)bc=0
同时约去(b+C) : a2-(b2-bc+c2)-bc=0
化简得a2=b2+c2
故abc是直角三角形，a是斜边
结合ABC外接圆半径为1，知a＝2
又(b+c)2<=2b2+2c2=2a2=8
b+c<=2√ 2
a+b+c<=2√ 2+2
且b+c>a=2
故a+b+c>4
故4
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