求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/31 16:58:39
求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.
求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值
函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.
求函数f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)的极值及相应的x的值函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.
f(x)=|x-2|(x-3)(x-4)
当x<2时
f(x)=(2-x)(x-3)(x-4)
=-x^3+9x^2-26x+24
f'(x)=-3x^2+18x-26
令f'(x)>=0
3-√3/3<=x<=3+√3/3
∵2<3-√3/3
∴(-∞,2)是f(x)的减区间
当x>=2时
f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)
=x^3-9x^2+26x-24
f'(x)=3x^2-18x+26
令f'(x)>=0
x<=3-√3/3或x>=3+√3/3
∴综上
f(x)的减区间是(-∞,2]和[3-√3/3,3+√3/3]
增区间是[2,3-√3/3]和[3+√3/3,+∞)
x=2和3+√3/3有极小值
f(2)=0
f(3+√3/3)=-2√3/9
x=3-√3/3有极大值
f(3-√3/3)=2√3/9
第二题
函数f(x)=x^3+3ax^2+3bx+c在x=2处有极值,其图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0,求函数的极大值和极小值的差.
f'(x)=3x^2+6ax+3b
f'(2)=12+12a+3b=0
∴4a+b=-4①
f'(1)=3+6a+3b
图像在x=1处的切线平行于直线3x+y+2=0
y=-3x-2
∴3+6a+3b=-3
2a+b=-2②
①②联立得
a=-1
b=0
f(x)=x^3-3x^2+c
∴f'(x)=3x^2-6x
令f'(x)>=0
∴x<=0或x>=2
∴f(x)增区间是(-∞,0]和[2,+∞)
减区间是[0,2]
∴x=0有极大值=f(0)=0-0+c=c
x=2有极小值=f(2)=c-4
极大值-极小值
=4
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