已知f(x)= ∫(下面是1上面是x) lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/01/21 20:13:58
已知f(x)= ∫(下面是1上面是x) lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x
已知f(x)= ∫(下面是1上面是x) lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x
已知f(x)= ∫(下面是1上面是x) lnt/(1+t)dt证明f(x)+f(1/x)=1/2*ln2 x
证明:∵f(x)=∫(1~x)lntdt/(1+t)
∴f(1/x)=∫(1~1/x)lntdt/(1+t)
=∫(1~x)ln(1/t)d(1/t)/(1+(1/t)) (用1/t代换t)
=∫(1~x)lntdt/(t(1+t))
∴f(x)+f(1/x)=∫(1~x)lntdt/(1+t)+∫(1~x)lntdt/(t(1+t))
=∫(1~x)[1/(1+t)+1/(t(1+t))]lntdt
=∫(1~x)[(t+1)/(t(1+t))lntdt
=∫(1~x)lntdt/t
=∫(1~x)lntd(lnt)
=(ln²t/2)│(1~x)
=(ln²x-ln²1)/2
=ln²x/2
故 左边=右边,原命题成立.证毕.