x→0 lim(sinx/x)=1 为什么变成x→0 lim[sin(1/x)/(1/x)]=0了呢?而第二个式子x→∞时就等于1了呢

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 03:36:53
x→0lim(sinx/x)=1为什么变成x→0lim[sin(1/x)/(1/x)]=0了呢?而第二个式子x→∞时就等于1了呢x→0lim(sinx/x)=1为什么变成x→0lim[sin(1/x)

x→0 lim(sinx/x)=1 为什么变成x→0 lim[sin(1/x)/(1/x)]=0了呢?而第二个式子x→∞时就等于1了呢
x→0 lim(sinx/x)=1 为什么变成x→0 lim[sin(1/x)/(1/x)]=0了呢?而第二个式子x→∞时就等于1了呢

x→0 lim(sinx/x)=1 为什么变成x→0 lim[sin(1/x)/(1/x)]=0了呢?而第二个式子x→∞时就等于1了呢
问题的根本之处在于:必须是 0/0 型,sinx/x 在x趋向于0时才趋向于1.
当x→∞时,1/x→0,[sin(1/x)]/(1/x)也是 0/0 型
当x→0时,1/x→∞,[sin(1/x)]/(1/x)不是 0/0 型,而是 ∞/∞ 型,不适用.
就是这么简单的道理.

x→∞,则:1/x→0,所以,第二个式子x→∞时就等于1了
x→0,-1<=sin(1/x)<=1,则:-lim1/(1/x)<=lim[sin(1/x)/(1/x)]<=lim1/(1/x)
0<=lim[sin(1/x)/(1/x)]<=0
lim[sin(1/x)/(1/x)]=0

令t=1/x,
x→0,lim[sin(1/x)/(1/x)]即t→∞,lim[sint/t]=0,(因为分子有界,分母无穷大)。
x→∞,lim[sin(1/x)/(1/x)]即t→0,lim[sint/t]等于t→0,lim[cost/1]=1.(罗比达法则)。