如何证明∫﹣∞﹢∞ sin x/x条件收敛

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 02:58:17
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如何证明∫﹣∞﹢∞ sin x/x条件收敛
如何证明∫﹣∞﹢∞ sin x/x条件收敛

如何证明∫﹣∞﹢∞ sin x/x条件收敛
首先,x=0不是瑕点,再由于被积函数是奇函数,因此只需考虑(从1到无穷)sinx/xdx即可.
用Dirichlet判别法知道积分(从1到无穷)sinx/xdx是收敛的.
其次,对于积分(从1到x)|sinx/x|dx,由于|sinx/x|>=sin^2x/x=(1--cos2x)/(2x)
=1/(2x)--cos2x/(2x),还是用Dirichlet判别法知道积分(从1到无穷)cos2x/(2x)dx收敛,
而积分(从1到无穷)1/(2x)dx发散,因此由比较判别法知道积分(从1到无穷)|sinx|/xdx发散.
综上,广义积分(从1到无穷)sinx/x条件收敛.