证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 22:06:59
证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi

证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1

证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1
设特征值b1--bn对应的特征向量为 v1--vn.问题显然是对称的,不失一般性,考虑A-b1 .
显然,(A-b1)v1=Av1 - b1v1 = b1v1-b1v1=0,这说明 0 是 A-b1 的一个特征值.
而(A-b1)v2=Av2 - b1v2 = b2v2-b1v2 = (b2-b1)v2,这说明 b2-b1 是A-b1 的一个特征值,其对应特征向量为v2.
同理,b3-b1,b4-b1,.,bn-b1 都是A-b1 的特征值,对应特征向量分别为v3,v4,...,vn.
所以,A-b1 的所有特征值为0,b2-b1,...,bn-b1 .显然,除了0,其他的都不为0,因为b1--bn是各不相同的.这样A-b1 的秩就是 n-1.
同理,其他所有的A-bi的秩也为n-1 .

矩阵减数字？

因为A-bi*I （其中I为n*n的单位矩阵）的特征值为(b1-bi), (b2-bi), ..., (bn-bi)。其中一个且只有一个特征值为(bi-bi)=0。所以，这个矩阵有n-1个不为零的特征值，其秩为n-1。

有个定理，特征值非线性相关
所以，这道题的证明差不多就是这个定理的证明过程
我记得书上有这个定理的证明来着

也可以从相似对角化方法入手：
n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn，则存在可逆矩阵P，使得
（P的逆阵）A P = diag(b1,b2,...bn)
于是 （P的逆阵）（A-bi E）P = diag(b1,b2,...bn) - bi E
（A-bi E）的秩等于diag(b1,b2,...bn) - bi E的秩。
后者 是只...

全部展开

也可以从相似对角化方法入手：
n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn，则存在可逆矩阵P，使得
（P的逆阵）A P = diag(b1,b2,...bn)
于是 （P的逆阵）（A-bi E）P = diag(b1,b2,...bn) - bi E
（A-bi E）的秩等于diag(b1,b2,...bn) - bi E的秩。
后者 是只有1个0对角元的对角阵，其秩为 n - 1
所以（A-bi E）的秩等于n - 1

收起

高等代数证明：A、B皆为n阶方阵,如果AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明B相似于对角 证明：如果n*n阶方阵A有个n个不同的特征值b1--bn,那么对应每个特征值bi,矩阵A-bi的秩为n-1 设n阶方阵A的n个特征值互异,n阶方阵B与A有相同的特征值,证明：A与B是相似的? 设A是n阶方阵,A有n个不同的特征值是A与对角相似的?条件... n阶方阵A有n个不同特征值是A与对角阵相似的什么条件? 证明：设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0如题 复数域上的任意n阶方阵a必有n个复特征值 为什么? n阶方阵A具有n个不同的特征值是A对角阵相似的什么条件 证明：若n阶方阵A有n个对应于特征值a且线性无关的特征向量,则A=aI 高等代数题目,关于矩阵的特征值若n阶方阵A有n个不同的特征值,而且AB=BA,求证B相似于对角阵. 特征值特征向量证明问题设n阶方阵A的n个特征值为1,2.n,试求|A+E| 如何证明一个n阶矩阵有n个不同的特征值 求证明：对任何2个n阶方阵A、B都不可能有AB-BA=E n阶方阵有n个线性无关的特征向量 是否可逆 一道数学题(线性代数)已知二阶方阵A= [3 9][1 3]求A^n.(其中A^n表示n个A相乘得到的方阵) 一道数学线性代数题已知二阶方阵A= [3 9][1 3]求A^n.(其中A^n表示n个A相乘得到的方阵) 已知n阶方阵A与某对角矩阵相似,则A.A有n个不同的特征值B.A一定是n阶实对称矩阵C.A有n个线性无关的特征向量D.A的属于不同特征值的特征向量正交 线性代数_特征值与特征向量的简单题目设A与B是n阶实方阵,A有n个相异特征值,证明：AB=BA的充要条件是A的特征向量都是B的特征向量.