柯西不等式和贝努力不等式是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 19:00:41
柯西不等式和贝努力不等式是什么?
柯西不等式和贝努力不等式是什么?
柯西不等式和贝努力不等式是什么?
柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）
对任意两组实数a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn,有
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)≤(a12＋a22＋…＋an2) (b12＋b22＋…＋bn2)
其中等号当且仅当＝＝…＝时成立.
柯西不等式的几个特例(以下a1,a2,…,an；b1,b2,…,bn均为实数)是：
(1) a12＋a22＋…＋an2＝1,b12＋b22＋…＋bn2＝1,则｜a1b1＋a2b2＋…＋anbn｜≤1
(2) a1a2＋a2a3＋a3a1≤a12＋a22＋a32
(3) (a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)
柯西不等式是又一个重要不等式,有许多应用和推广.
贝努利不等式
(1)设xi＞－1,i＝1,2,…,n,n ≥2且同号,
则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx,x＞－1,x≠0,n∈N,n≥2
(2)设x＞－1,则
(i) 当0＜α＜1时,有(1＋x)α≤1＋αx；
(ii) 当α＞1或α＜0时,有 (1＋x)α≥1＋αx.
上两式当且仅当x＝0时等号成立.
柯西不等式
二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a+c)^2＋(b+d)^2] 等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根，
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1...
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柯西不等式
二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a+c)^2＋(b+d)^2] 等号成立条件：ad=bc 注：“√”表示平方根，
向量形式
|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2） 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
贝努利不等式
(1)设xi＞－1，i＝1，2，…，n，n ≥2且同号，
则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋xn)＞1＋x1＋x2＋…＋xn
不等式(1)的一个重要特例是：(1＋x)n＞1＋nx，x＞－1，x≠0，n∈N，n≥2
(2)设x＞－1，则
(i) 当0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx；
(ii) 当α＞1或α＜0时，有 (1＋x)α≥1＋αx。
收起
柯西不等式:
http://baike.baidu.com/view/7618.html?wtp=tt
贝努力不等式(贝努利不等式，伯努利不等式):
http://baike.baidu.com/view/368039.html?wtp=tt