已知ABCD是正方形,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.使用向量法证明AF=AE.使用向量法!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/01 05:32:12
已知ABCD是正方形,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.使用向量法证明AF=AE.使用向量法!
已知ABCD是正方形,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.
使用向量法证明AF=AE.
使用向量法!
已知ABCD是正方形,BE‖AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于F.使用向量法证明AF=AE.使用向量法!
证明：以B为坐标原点,BA为x轴,BC为y轴,正方形ABCD边长为1,则
B点坐标为（0,0）
A点坐标为（1,0）
C点坐标为（0,1）
D点坐标为（1,1）
设E点坐为（x,y),则
<BE>=（x,y)
因为<AC>=（-1,1）,<BE>//<AC>
所以x/y=-1/1,即x=-y
因为|<AC>|=√2,<CE>=(x,y-1),|<AC>|=|<CE>|
所以x²+(y-1)²=2
因为x=-y,x²+(y-1)²=2,x<0（由图可知x范围）
所以x=-(1+√3)/2,y=(1+√3)/2,E（-(1+√3)/2,y=(1+√3)/2）,
<CE>=（-(1+√3)/2,-(1-√3)/2）
因为F点在x轴上,设F点坐标为(x,0）,则
因为<CF>=（x,-1）,<CE>=（-(1+√3)/2,-(1-√3)/2）,<CF>//<CE>
所以x/-1=[-(1+√3)/2]/[-(1-√3)/2]= -(2+√3)
所以x=(2+√3),F(2+√3,0）,<AF>=(1+√3,0）
因为<AE>=(-(3+√3)/2,(1+√3)/2),<AF>=(1+√3,0）
所以|<AE>|²=4+2√3,|<AF>|²=4+2√3
因为|<AE>|²=|<AF>|²
所以|<AE>|=|<AF>|
即AF=AE
说明：如<AB>形式,表示向量AB.
要不然就是，证明向量AF和向量AE加上同意向量所得向量相等
以A为原点，AB方向为x轴正方向，
建立如图所示的直角坐标系，
设A（0，0），B（a，0），C（a，a）
∵直线AC为y=x
∴直线BE为y=x-a
设E（b，b-a），F（m，0）
∵GE=AC=（√2）a
∴（b-a）²+（b-2a）²=2a²
∴a=（1-1/√3）b ...
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以A为原点，AB方向为x轴正方向，
建立如图所示的直角坐标系，
设A（0，0），B（a，0），C（a，a）
∵直线AC为y=x
∴直线BE为y=x-a
设E（b，b-a），F（m，0）
∵GE=AC=（√2）a
∴（b-a）²+（b-2a）²=2a²
∴a=（1-1/√3）b （1）
又∵F、C、E三点共线
∴kCF=kCE
∴a/（a-m）=（b-2a）/（b-a） （2）
由（1）、（2）得
m=（-2√3/3）b
于是AE²=b²+（b-a）²= 4b²/3
AF²=m²= 4b²/3
∴AF=AE
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