数学解答题,要详细过程已知函数f(x)=x分之x平方+a,且f(1)=2.判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性证明函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/09 08:32:40
数学解答题,要详细过程已知函数f(x)=x分之x平方+a,且f(1)=2.判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性证明函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
数学解答题,要详细过程
已知函数f(x)=x分之x平方+a,且f(1)=2.
判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性
证明函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
数学解答题,要详细过程已知函数f(x)=x分之x平方+a,且f(1)=2.判断并证明函数f(x)在其定义域上的奇偶性证明函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
f(x)=(x^2+a)x=x+a/x
因为f(1)=2
所以2=1+a,得a=1,
f(x)=x+1/x
（1）函数f(x)在其定义域上是奇函数
证明：f(-x)=-x+1/（-x）=-（x+1/x）=-f(x)
（2）函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
证明：令b是任意正数
f(x+b)-f(x)
=x+b-x+1/(x+b)-1/x
=b+1/(x+b)-1/x
=b-b/(x^2+bx)
而在(1,正无穷)上,x^2+bx>1,所以,-b/(x^2+bx)是个绝对值小于b的正数
所以b-b/(x^2+bx)>0
即,函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数.
函数在（0 2）为减函数
取0＜X1＜X2＜2
f（X1）-f（X2）=（X1X2-4）(X1-X2)/X1X2
在（0 2）区间，X1X2-4＜0，X1-X2＜0，X1X2＞0，
可以得出f（X1）-f（X2）＞0的结论，所以为减函数；
f（X1）-f（X2）的过程自己整理一下！
证明：因为f（1）=2；所以a=1，则f（x)=（x平方+1）/x;
而f(-x)=-(x平方+1）/x=-f(x);所以为奇函数。
因为f(x)的导数为1-1/x平方，所以当x>1时，f（x）的导数为正，所以函数f(x)在(1,正无穷)上是增函数