设M=2^p-1,p为质数,证明,M 的质因数均大于p

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/04 03:27:27

设M=2^p-1,p为质数,证明,M的质因数均大于p设M=2^p-1,p为质数,证明,M的质因数均大于p设M=2^p-1,p为质数,证明,M的质因数均大于p这基本上是一个数论题目,不知你对同余,Fer

设M=2^p-1,p为质数,证明,M 的质因数均大于p
设M=2^p-1,p为质数,证明,M 的质因数均大于p

设M=2^p-1,p为质数,证明,M 的质因数均大于p
这基本上是一个数论题目,不知你对同余,Fermat小定理是否熟悉?
在数论中可用以下两个结论证明 (这两个结论我就不证了):
① 若正整数a,m,n,k满足a^m ≡ a^n ≡ 1 (mod k),则对m,n的最大公约数d,有a^d ≡ 1 (mod k).
② (Fermat小定理)若q为质数,a不是q的倍数,则a^(q-1) ≡ 1 (mod q).
原题证明:设q是M = 2^p-1的一个质因数,即有2^p ≡ 1 (mod q).
由②,有2^(q-1) ≡ 1 (mod q) (易见2不是q的倍数).
考虑p和q-1的最大公约数d,由p是质数,有d = 1或p.
而由①,2^d ≡ 1 (mod q),可知d ≠ 1,即d = p.
于是q-1 > 0作为d = p的倍数,有q-1 ≥ p,即q > p.
在抽象代数中可以用群论的知识来证明:
设q是M = 2^p-1的一个质因数,考虑mod q的剩余类环Z/qZ = {0,1,...,q-1}.
由q是质数,其中的非零元都是(乘法)可逆元.
全体可逆元构成的乘法群(Z/qZ)*是q-1阶群,以1为单位元.
考虑2在(Z/qZ)*中生成的子群 = {1,2,2²,2³,...},设其阶数为r,则是一个r阶循环群.
由q | 2^p-1,可知在mod q意义下2^p = 1,于是可得r | p.
由p是质数,有r = 1或p,但显然r ≠ 1,即有r = p.
而作为(Z/qZ)*的子群,由Lagrange定理,其阶数r = p整除(Z/qZ)*的阶数 = q-1.
于是q-1 ≥ p,即q > p.
个人对离散数学的范围不太清楚,

设M=2^p-1,p为质数,证明,M 的质因数均大于p 设P为奇质数,正整数M,N满足M/N=1+1/2+1/3..+1/P-1,(M,N)=1,证明pIm 已知M=P的四次方（p的2次方q+1),其中p,q为质数,且满足q-p=29,则M=( ) P的平方+M的平方=N的平方,其中P味质数,M,N为自然数.求证：2(P+M+1）是完全平方数已知M=P的四次方(p的2次方q+1),其中p,q为质数,且满足q-p=29,则M=( )已知M=P的四次方（p的2次方q+1),其中p,q为质数,且满足q-p=29,则M=( )A.2009 B.2005 C.2003 D.2000 已知M=P^4*(P^2*q+1),其中p,q为质数,且q-p=29,满足求M的值已知M=P的四次方*(P的平方*q+1),其中p,q为质数,且q-p=29,满足求M的值设p为大于5的质数,证明：p的4次方≡1（mod24）. 设m>1,当[(m-1)!+1]/m时,m必为质数的证明 5（m+n+p)=mnp m,n,p为质数,求n,m,p的值设m,n,p是正整数,m＜n,p为质数,求m至n之间所有分母为p的最简分数的和关于可逆矩阵的证明问题设P是n阶可逆矩阵,如果B=p^(-1)AP,证明：B^m=P^(-1)A^mP,这里m为任意整数.m是正整数设p为大于1的正整数,若2^p-1为质数,则p必为质数. 求满足2p^2+p+8=m^2-2m的所有质数p和正整数m 设P,M为两个非空数集,定义P*M={ (X,Y)|X∈P,Y∈M},若P={ 1,2},M={1,2,3},求(P*M)交于（M*P) p是大于等于5的质数,且2p-1也是质数,证明：4p+5为合数已知二次函数y=x²+(m-1)x+2的图像与x轴两交点的距离为√（2p²+p+1）,若p为质数,m为正整数,求m的值求满足2P的平方+P+8=M的平方-2的所有质数P和整数M. 设n为大于2的正整数,证明:存在一个质数p,满足n