设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/07 20:57:11
设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.设f(x)=e^x(ax^2

设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.

设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
f(x)在[0,1]单调增加,
故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e,
最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
而当θ∈[0,π/2 ]时,cosθ,sinθ∈[0,1].
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2
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(1)先对函数f(x)进行求导,然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值,然后当f'(x)<0时可求函数的单调递减区间,当f'(x)>0时可求函数的单调递增区间.
(2)先确定函数f(x)在[0,1]单调增,求出最大值和最小值,故根据任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2,将cosθ、sinθ代入即可得到答案.(Ⅰ)f'(x)=ex(ax2+x+1...

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(1)先对函数f(x)进行求导,然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值,然后当f'(x)<0时可求函数的单调递减区间,当f'(x)>0时可求函数的单调递增区间.
(2)先确定函数f(x)在[0,1]单调增,求出最大值和最小值,故根据任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2,将cosθ、sinθ代入即可得到答案.(Ⅰ)f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1).
由条件知,f'(1)=0,故a+3+2a=0⇒a=-1.
于是f'(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1).
故当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f'(x)<0;
当x∈(-2,1)时,f'(x)>0.
从而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)单调减少,在(-2,1)单调增加.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,1]单调增加,
故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e,
最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
而当θ∈[0,π2]时,cosθ,sinθ∈[0,1].
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.

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高等数学导数不等式证明设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明:设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.当x0.所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'(x)>=f'(In2)=2-2In2+2a>0. 设函数f(x)=e^x-e^-x(1)证明f(x)的导数f'(x)>=2 (2)若对所有x≥0有f(x)≥ax,求a的取值范围 设f(x)=(e^x)/(1+ax^2),其中a为正实数如何求导? 设f(e^x)=e^2x+e^x+1,则f(x+1)= 设f(x)=lim(n→∞)(x^(2)e^(n(x-1))+ax+b)/(e^(n(x-1))+1)确定a b 使f(x)处处可导.求f`(x) f(X)=e^ax/x-2单调区间 设函数f(x)=e^x-ax-2 若a=1 k为整数且当x大于0时 (x-k 设f(x)={x^sin(1/x),x>0 a+e^x,x 《数学题》高中【导数】证明 设函数f(x)=1设函数f(x)=1-e^(-x).(1)证明:当x>-1时,f(x)>=x/(x+1); (2)设当x>=0时,f(x)<=x/(ax+1),求a的范围 f(x)=(x^2+ax+a)e^x的导数 为什么得f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+a)e^x,为什么要+(x^2+ax+a)e^x? 设函数f(x)=e^x-ax-2其导函数为f‘(x)若a=1 k为整数且当x>0时 (x-k)f’(x)+x+1>0 求k的最大值1.当a=1,f(x)'=e^x-1(x-k)(e^x-1)+1+x>0设g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1(x>0)g(x)'=(x-k)e^x吗?2.(x-k)(e^x-1)>-1-xk>(-1-x)除 1)设f(x)=ax2+2ax-4,且f(x) f(x)=x^2e^x-1+ax^3+bx^2求导是什么? 设f(x)=e的y次方,证明:(1),f(x)f(y)=f(x+y) ,(2),f (x)/f(y)=f(x-y) 设a∈R,函数f(x)=(x^2-ax-a)e^x.求函数f(x)在[-2,2]上的最小值. f(x)=(e^x)(ax^2+x+1)求导,结果是e^x(ax^2+x+1+2ax+1), 设f(x)=x^3+ax^2+bx+1的导数f'(x)满足f'(1)=2a,f'(2)=-b,其中常数a,b属于R(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)设g(x)=f'(x)e^(-x),求函数g(x)的极值 已知函数f(x)=ax-e^x(a∈R)(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x^2-2x+1,证明:当1