矩阵A的三次方等于A,求它的特征值……

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/17 17:31:15

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矩阵A的三次方等于A,求它的特征值……

矩阵A的三次方等于A,求它的特征值……
0,1或者-1,都有可能.
设A*x=lamda*x,其中lamda为特征值,而x为对应非零特征向量.
则因为A^3=A,所以A*x=A^3*x=A^2*(A*x)=A^2*(lamda*x)=lamda*(A^2*x)=lamda*A*(A*x)=lamda*A*lamda*x=lamda^2*A*x=lamda^2*lamda*x=lamda^3*x.
所以对于该非零特征向量,lamda*x=lamda^3*x,即(lamda-lamda^3)*x=0,因为x为零,所以必须lamda=lamda^3,纵观复数域,只有0,1,-1满足该条件.
0,1,-1这三个值都有可能取到,比如取A为3维对角矩阵,对角线上分别是0,1,-1,则容易验证A满足A=A^3的条件,而且A的三个特征值分别就是0,1,-1.

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