在一个圆周上写上数1,2,3,然后在相邻的两个数之间写上它们的和,于是得到6个数1,3,2,5,3,4.如此操作6次,圆周上共出现192个数,则这一百九十二个数的和是多少?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/21 11:26:59
在一个圆周上写上数1,2,3,然后在相邻的两个数之间写上它们的和,于是得到6个数1,3,2,5,3,4.如此操作6次,圆周上共出现192个数,则这一百九十二个数的和是多少?
在一个圆周上写上数1,2,3,然后在相邻的两个数之间写上它们的和,于是得到6个数1,3,2,5,3,4.如此操作6次,圆周上共出现192个数,则这一百九十二个数的和是多少?
在一个圆周上写上数1,2,3,然后在相邻的两个数之间写上它们的和,于是得到6个数1,3,2,5,3,4.如此操作6次,圆周上共出现192个数,则这一百九十二个数的和是多少?
当圆周上的数是192个时,192个数的和为5103
解题思路和步骤如下:
设每一批数的和为An,且A1=1+2+4=7,设数的批次为n∈(1,7),依题意得:
第二批6个数的和A2=(1+2+4)+(3+6+5)=A1+(1+2)+(2+4)+(4+1)=A1+2A1=3A1
(观察可发现:新增3个数为头批3个数字两两相加而得,故新增数的和为2A1)
第三批12个的和A3=(1+2+4)+(3+6+5)+(4+5+8+10+9+6)
=A2+[(1+3)+(3+2 )+(2+6)+(6+4)+(4+5)+(5+1)=A2+2A2=3A2
观察可发现:由于每一次增加的数是前一批数两两相加而得,
故每批数新增的和为前一批数和的2倍(前一批数每个都要与相邻两个数相加,即加了2次),
则后一批数的和是前一批的(2+1)倍,此可推出;
An=3An-1=3*3An-2=3*3An-3=3*3*3An-4……=3^(n-1)A1 (注:An-1为前一批数的和)
将n和A1依次代入可得A7=3^(7-1)A1=3^6A1=3^6*7=729*7=5103
所以第七批192个数的和A7==5103