99^10-1能被1000整除用二项式定理证明
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/22 21:53:07
99^10-1能被1000整除用二项式定理证明
99^10-1能被1000整除
用二项式定理证明
99^10-1能被1000整除用二项式定理证明
根据二项展开式有
99^10-1
=(100-1)^10-1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1+1-1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1
因为
-C(10,9)100^1
=-C(10,1)100^1
=-10*100
=-1000
则每一项都能被1000整除,
所以99^10-1能被1000整除.
可以
这样算（用的是计算器）
99^10=90438207500880449001
90438207500880449001-1=90438207500880449000
这样算也可以（适用于上高中的，二次项定理）
99^10-1
=(100-1)^10-1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2...
全部展开
可以
这样算（用的是计算器）
99^10=90438207500880449001
90438207500880449001-1=90438207500880449000
这样算也可以（适用于上高中的，二次项定理）
99^10-1
=(100-1)^10-1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1+1-1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1
=100^10-C(10,1)100^9+……+C(10,8)100^2-C(10,9)100^1
每项后面都有三个零
还可以这样算（手工算法，适用于没上高中的，只要后三位就可以了，找规律）
99=99 个位是9 十位是9 百位是0
99^2=9801 个位是1 十位是0 百位是8
99^3=970299 个位是9 十位是9 百位是2
99^4=96059601 个位是1 十位是0 百位是6
99^5=9509900499 个位是9 十位是9 百位是4
99^6=941480149401 个位是1 十位是0 百位是4
99^7=93206534790699 个位是9 十位是9 百位是6
99^8=9227446944279201 个位是1 十位是0 百位是2
99^9=913517247483640899 个位是9 十位是9 百位是8
99^10=90438207500880449001 个位是1 十位是0 百位是0
99^11=8953382542587164451099 个位是9 十位是9 百位是0
99^12=886384871716129280658801 个位是1 十位是0 百位是8
99^13=87752102299896798785221299 个位是9 十位是9 百位是2
……
个位就是单数幂次为9双数为1
十位就是单数幂次为9双数为0
百位为0826446280循环
所以可判定99^10的个十百位为001
收起
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