如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 08:47:33
如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；
如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）试说明EO=FO；
（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；
（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论．
如图,△ABC中,点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F,交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论；
1）∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,又∵∠ECO=∠ECB,∴∠OEC=∠OCE,∴EO=OC,
同理FO=OC,∴EO=FO
2）运动到AC中点
此时∵EO=FO,AO＝CO,∴AECF是平行四边形.又∵∠ECO=∠ECB,
∠OCF＝∠FCG,∴∠ECF＝1／2（∠BCO＋∠GCO）＝90°,
∴AECF是矩形
3）是以∠C为直角的直角三角形
∵AECF是正方形,∴EF⊥AC,又∵EF∥BG,∴AC⊥BG,∴∠ACB＝90°
看见图已经晕了 几何盲路过...
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AE...
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（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形。
∵O是AC的中点，∴OA=OC
又∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，
CE是角平分线→∠OCE=∠ECB
∴∠OEC=∠OCE→OC=OE，同理可得OF=OC
∴OA=OC=OE=OF→四边形AECF为平形四边形①
又∵CE，CF为角平分线，∠ECA+∠ACF=90°②
由①②→四边形AECF是矩形
1、证明：在BC的延长线上取点D
∵CE平分∠ACB
∴∠ACE＝∠BCE
∵CF平分∠ACD
∴∠ACF＝∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF
∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC
∴OE＝OC，OF＝OC
∴OE＝OF
△ABC为直角三角形，∠ACB＝90时，四边形AECF是正方形
证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACD＝90
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE＝∠ACB/2＝45
∵CF平分∠ACD
∴∠DCF＝∠ACD/2＝45
∵MN∥BC
∴∠OEC＝∠BCE＝45，∠OFC＝∠DCF＝45
∴∠OEC＝∠OFC
∴CE＝CF
∵矩形AECF
∴正方形AECF
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