不懂一道立体几何的填空题,你最好了如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2C,且AB+CD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是为什么是B,C两点在椭圆的短轴端点时,到AD距

不懂一道立体几何的填空题,你最好了如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2C,且AB+CD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是为什么是B,C两点在椭圆的短轴端点时,到AD距
不懂一道立体几何的填空题,你最好了
如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2C,且AB+CD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是
为什么是B,C两点在椭圆的短轴端点时,到AD距离最大

不懂一道立体几何的填空题,你最好了如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2C,且AB+CD=AC+CD=2a,其中a,c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是为什么是B,C两点在椭圆的短轴端点时,到AD距
这是错的AB+CD=AC+CD=2a
应该是AB+BD=AC+CD=2a

做BF⊥AD垂足为F,连接FC
因为AD⊥BC
∴AD⊥平面BCF
∴AD⊥FC

将AD固定,那么
B点轨迹为,以A,D为焦点的椭圆
C点轨迹为,以A,D为焦点的椭圆
两个椭圆的离心率相等,焦距相等,形状相同,
∴BF=CF
做FE⊥BC,垂足为E
那么V=1/3*SΔBCF*AD
=1/3*EF*c
EF取得最大值时,体积V最大
而EF为等腰三角形BCF底边上的高,底边为定值c
那么一定是腰BF,CF最大的时候,
而BF的最大值为椭圆的半段轴,
即需F为AD中点的时候.

这道题出的挺不错的,10分的话,我评8分.

我先吃个饭,饭后送上题目解析.

我来完善我的答案了

先把题目重新抄一遍:"AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c,且AB+CD=AC+CD=2a,其中a,c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是______",

解析如下:

由题知,AD与BC互相垂直, 所以可以过 AD 作与BC垂直的平面p,与BC交于点P;

又因为AB+CD=AC+CD=2a;

所以,AB=AC;

在三角形 ABC 中,由AB=AC,BP垂直于AP,得 P点为 BC中点,即 BP=CP=1;

又,在三角形 DBC 中,由P为 BC 中点,BP垂直于DP,得 DB=DC;

如图一所示

那么接下来要怎么求四面体 ABCD 的体积呢?而且还是求最大体积.

首先,我们注意到平面 p 实际上把 四面体 ABCD "切"成了两个小的四面体 ADBP 和 四面体 ADCP,而且这两个四面体还是完全关于平面 p 对称.也就是面积相等.而四面体 ADBP 的体积=底面三角形 ADP 的面积* BP 这个高*1/3.

而这个高 BP 是固定的长度 1,要求 四面体ABCD 的体积最大,也就是求 三角形 ADP 的面积最大.

题上告知了 AC+CD=2a,即在平面 ACD 中, C 是 以 A,D为焦点的椭圆上的点.

又由上面的推导,我们知道 AB=AC,DB=DC,即AB+BD=2a,即 在平面 ABD 中, B是以 A,D 为焦点的椭圆上的点.根号(AB^2-1)+根号(DB^2-1).

然而,三角形 APD 正是 三角形 ABD 和 三角形 ACD 在平面 p 上的投影,

又由椭圆性质可知(其实是三角形性质,底边 AD 不变,高越大,面积越大),当B,C在椭圆的短轴端点时,三角形 ABD 和 三角形 ACD 的面积最大,即 三角形 APD 的面积最大.

所以有 "B,C两点在椭圆的短轴端点时，BC到AD距离最大",

即有 AB=AC=DB=DC=a,

则 AP=DP=根号下(a^2-1).

此时,过点 P 作 AD 的垂线,垂直于点O,由 ap=dp 得 O 为 AD 中点.所以 AO=DO=c;

如图二所示

在三角形 AOP 中,已知了 AO=c,AP=根号下(a^2-1),得OP=根号下(a^2-c^2-1),

所以 三角形 ADP 的最大面积为 AD*OP/2=c*根号下(a^2-c^2-1),

从而

四面体 ADBP 的体积 = 四面体 ADCP 的体积 = 底面三角形 ADP 的面积* BP*1/3

= (c*根号下(a^2-c^2-1))*1*(1/3)

= (1/3)*c*根号下(a^2-c^2-1),

即 四面体 ABCD 的最大体积为 (2/3)*c*根号下(a^2-c^2-1)

即