高数:微分方程通解yy"+1=y'的平方,答案令y'=p,y"=pdp/p只讨论/p/>1,/p/1,/p/

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 16:00:55
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P=0,即y'=0,则y"=0,代入原方程,显然不成立;
P=1或-1,即y'=1或-1,则y"=0,代入原方程,显然成立,
故y=x+C或y=-x+C也是原方程的解,其中C为任意常数.

y''=(y')平方+1是可降阶的微分方程
令p=y' ==> y''=dp/dx,方程成为p'=1+p^2
==> dp/(1+p^2)=dx ==> arctan(p)=x+c1 ==> p=tan(x+c1),即
y'=tan(x+c1) ==> y=∫tan(x+c1)dx=-ln[cos(x+c1)]+c2