已知：(x^2+ax-b)^2≡(x-1)^4-(cx+d)^4,求a,b,c的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 22:41:19
已知：(x^2+ax-b)^2≡(x-1)^4-(cx+d)^4,求a,b,c的值.
已知：(x^2+ax-b)^2≡(x-1)^4-(cx+d)^4,求a,b,c的值.
已知：(x^2+ax-b)^2≡(x-1)^4-(cx+d)^4,求a,b,c的值.
令x²+ax-b=x²+(p+q)x+pq
原恒等式=(x+p) ²(x+q) ²=[(x-1) ²-(cx+d) ²][(x-1) ²+(cx+d) ²]
(x+p) ²+(x+q) ²=2(x-1) ²
2(p+q)x+p²+q²=-4x+2
p+q=-2
p²+q²=2
∴2pq=(p+q) ²-(p ²+q ²)=2
pq=-b=1
b=-1
a=p+q=-2
cx+d=0
c=0
d=0
综上所述：a=-2 b=-1 c=0
(1)求a+b+c+d+e的值 (2)求b+d的值 (1)令x=1,则 1=a+b+c+d+e.① 令x=-1,则 3^4=a-b+c-d+e.② ②-①得 -2(b+d)=
x^4的系数，等式左边为1，等式右边为1-c^4，所以c=0
等式右边=(x-1)^4-d^4=(x^2-2x+1+d^2)(x^2-2x+1-d^2)
x^3的系数，等式左边为2a，等式右边为-4，所以a=-2
至此比较明朗，1+d^2=1-d^2=-b，即d=0，b=-1
恒成立的等式问题有两种处理方法：
（1）对照系数，处处相等：
因为：(x-1)⁴-(cx+d)⁴=(1-c⁴)x⁴-4(1+c³d)x³+6(1-c²d²)x²-4(1+cd³)x+1-d⁴;
(x²+ax-b)²=x⁴+2...
全部展开
恒成立的等式问题有两种处理方法：
（1）对照系数，处处相等：
因为：(x-1)⁴-(cx+d)⁴=(1-c⁴)x⁴-4(1+c³d)x³+6(1-c²d²)x²-4(1+cd³)x+1-d⁴;
(x²+ax-b)²=x⁴+2ax³+(a²-2b)x²-2abx+b²
按照x的指数展开左右对比得：1-c⁴=1; c=0;
-4(1+c³d)=2a; a=-2
6(1-c²d²)=a²-2b; b=-1;
-2ab=-4(1+cd³)恒成立；
1-d⁴=b²; d=0;
（2）用特殊性：既然恒等于，对x取一些便于计算的具体值也等式成立：
x=0时得：b²=1-d⁴..................❶
x=1, (1+a-b)²=-(c+d)⁴.........❷
x=-1, (1-a-b)²=16-(d-c)⁴........❸
x=2, (4+2a-b)²=1-(2c+d)⁴......❹
❸-❷得：-4a+4ab=16+8cd(c²+d²)........❺
继续解，很麻烦，你自己看看
收起
x^2+ax-b=(x-1)^4
x^2+ax-b=-(cx+d)^4
则
(x-1)^4=-(cx+d)^4
x-1=-cx-d
x(1+c)=1+d
x=(1+d)/(1+c)
自己带进去
当x=0时得 b^2=1-d^4
当x=1时 （1+a-b)^2+(c+d)^4=0 所以 b=a+1 c=-d
所以右边=（x-1)^4*(1-c^4)
所以左边中的
x^2+ax-b 必有重根 即 a^2+4b=0
结合b=a+1 ，b^2=1-d^4
得 a=-2 b=-1 c=0