问实数p在什么范围内取值,关于x,y的方程组p+x+y=1 ,p²+x²+Y²=1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 14:37:43
问实数p在什么范围内取值,关于x,y的方程组p+x+y=1 ,p²+x²+Y²=1
问实数p在什么范围内取值,关于x,y的方程组p+x+y=1 ,p²+x²+Y²=1
问实数p在什么范围内取值,关于x,y的方程组p+x+y=1 ,p²+x²+Y²=1
x+y＝1－p,平方得x^2+2xy+y^2=(1－p)^2,即2xy+1－p^2=(1－p)^2,于是xy＝p^2－p,
故x y是一元二次方程z^2－(1－p)z+p^2－p＝0的两个根,判别式须大于等于0,即
(1－p)^2－4(p^2－p)>=0,解得－1/3<=p<=1.
我提供另一个几何的解法吧，相比楼上的可能麻烦点，但也挺直观的。一开始我解的和楼上答案不同，以为是我方法错了，其实是我自己算错了的缘故。提问的同学如果没有学圆的方程，就还是看楼上的解法吧。
要求有实数解的情况，其实也就是求直线 x + y = 1-p，与圆 x^2 + y^2 = 1-p^2有交点的情况。可以反过来思考这个问题，先解出没有交点的情况，然后求补集即可。没有交点的情况，画图的话就...
全部展开
我提供另一个几何的解法吧，相比楼上的可能麻烦点，但也挺直观的。一开始我解的和楼上答案不同，以为是我方法错了，其实是我自己算错了的缘故。提问的同学如果没有学圆的方程，就还是看楼上的解法吧。
要求有实数解的情况，其实也就是求直线 x + y = 1-p，与圆 x^2 + y^2 = 1-p^2有交点的情况。可以反过来思考这个问题，先解出没有交点的情况，然后求补集即可。没有交点的情况，画图的话就是圆心到直线的距离大于半径。设圆心为O，直线与两坐标轴交点的中点为C，连接OC。由于直线倾斜角是135度，所以OC其实是垂直于直线的，这样，OC与坐标轴的夹角就是45度。现在已知直线在坐标轴上的截距是 |1-p| (绝对值)，因此OC就是 |1-p| / sqrt(2) (根号2的意思)，所以，当且仅当：
|1-p| / sqrt(2) > 半径 = sqrt (1 - p^2)
时，直线和圆没交点，亦即原方程组无解。两边平方后解出：
3p^2 - 2p + 1 > 0, 得到 p < - 1/3或者p> 1，于是答案就是：
-1/3 <= p <= 1。
收起