一道几何题 EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在BC上
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:12:52
一道几何题 EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在BC上
一道几何题
EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在BC上
一道几何题 EFGH为正方形，AE=DH=FB=CG,求证ABCD为正方形 E在AD上H在DC上F在AB上G在BC上
首先证明A、B、C、D中必有一个直角.
用反证法.假设A、B、C、D都不是直角.
过E作AB的垂线段EP,使得P与F在AB同侧,且EP=ED.连接FP.
则角FEP和角HED同为角AEF的余角,因而相等.又因为EF=EH,EP=ED,所以三角形EPF和EDH全等.从而FP=HD=EA,且角FPE=角B.
此时,因为角B不是直角,所以FP是从F到EP作的斜线,其长度应该大于F到EP的距离.因此,F到EP的距离小于A到EP的距离（后者是AE=DH=FP）.
作射线AX平行于EP,使得X与F在AE的同侧.则F与EP在AX的同侧,因为在AX另一侧的点到EP的距离大于AE.这样,射线AF在直角EAX的内部,于是（原先的）角A是锐角.
同理,B、C、D都是锐角.但是这与四边形内角和公式矛盾（四锐角之和小于360度）.
现在,A、B、C、D中必有一个直角.不妨设为A.这样,角AEF和角BFG同为角AFE的余角,从而相等.而EF=FG,AE=BF,所以三角形AEF和BFG全等.于是,角B也是直角.如此类推,四个内角均为直角,所以ABCD是矩形.但是AB=AF+BF=BG+GC=BC,所以它是正方形.
题呢
（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE，
∴HE=EF=FG=GH，∠AEF=∠BFG
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BFG+∠AFE=90°，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形
.
.........................
你到底求什么 说清楚
你的提问有问题，是求证ABCD是正方形呢？还是什么？
这道题明显是个烂题，看看，你的A、E、D不共线，它可以不共线，也证不到共线，因为缺失条件，楼主。
（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE，
∴HE=EF=FG=GH，∠AEF=∠BFG
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BFG+∠AFE=90°，
∴∠EFG=90°，
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（1）证明：∵AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，
∴EB=FC=GD=HA，
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE，
∴HE=EF=FG=GH，∠AEF=∠BFG
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BFG+∠AFE=90°，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
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