若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/10/06 11:01:06
若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值
若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值
若a是大于0的常数,求函数y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值和最小值
答:y = (a + sin x)*(a + cos x) 的最大值=a^2+(√2)*a +1/2
当0√2时,m=-√2,y有最小值=a^2-(√2)*a+1/2
设m=sinx+cosx
m^2=(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinx*cosx
=1+2sinx*cosx
sinx*cosx=(m^2-1)/2
m^2=1+2sinx*cosx=1+sin2x≤2
m的最大值=√2
m的最小值=-√2
Y=(a + sin x)*(a + cos x)
=a^2+sinxcosx+a(sinx+cosx)
=a^2+(m^2-1)/2+am
=1/2(m+a)^2+(a^2-1)/2
(1)最大值
m=√2 时,y有最大值=a^2+(√2)*a +1/2
(2)最小值
因a>0,
当0√2时,m=-√2,y有最小值=a^2-(√2)*a+1/2
注意本题最易出错的地方:a>0,如a=100,y有最小值=(a^2-1)/2就是错误的,因为m最小=-√2,显然m=-100是错误的.
设sinx+cosx=z
sinx+cosx)^2=z ^2
sinxcosx=1/2z方-1/2
Y=a2+sinxcosx+a(sinx+cosx)
=a2+1/2z^2-1/2+az
=1/2(z+a)^2+a2/2
当z=-a时 ymin=a2/2
当z=1时 ymax=a2+a