已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 00:16:37
已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值
已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值
已知abc均为正数且a+b+c=1 1/a+1/b+1/c=10 求abc的最小值
最小值为1/32.三种情况下取得此最小值：（1/2,1/4,1/4）、（1/4,1/2,1/4）、（1/4,1/4,1/2）.由a+b+c=1得b+c=1-a.由1/a+1/b+1/c=10得1/b+1/c=10-1/a,整理得(b+c)/bc=(10a-1)/a,由此得bc=a(1-a)/(10a-1).所以,abc=a^2(1-a)/(10a-1).求此式最小,此式中仅有一个变量a.讨论a的取值范围.由于b+c=1-a,bc=a(1-a)/(10a-1),又(b+c)^2-4bc=(b-c)^2>=0.所以,(1-a)^2-4a(1-a)/(10a-1)>=0,整理得-10a^2+7a-1>=0,所以1/5
∵a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,
而1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc
∴(ab+bc+ca)=10abc
故(ab+bc+ca)²=( a²b²+ b²c²+c²a²)+2 abc(a+b+c)
=( a²b²+ b²c²...
全部展开
∵a+b+c=1,1/a+1/b+1/c=10,
而1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc
∴(ab+bc+ca)=10abc
故(ab+bc+ca)²=( a²b²+ b²c²+c²a²)+2 abc(a+b+c)
=( a²b²+ b²c²+c²a²)+2 abc=100 a²b²c²
又a²b²+ b²c²+c²a²=[( a²b²+ b²c²)+( b²c²+c²a²)+( a²b²+c²a²)]/2
≥abc(a+b+c)= abc
∴100 a²b²c²≥abc+2 abc=3 abc
故100 abc≥3
abc≥3/100, abc的最小值是3/100
收起
得1/32
a,b,c可令ab相等，然后求解，a=b=1/4,c=1/2
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=10
ab+bc+ca=10abc
平均值不等式
a^2b^2+b^2c^2>=2ab^2c
b^2c^2+c^2a^2>=2abc^2
c^2a^2+a^2b^2>=2a^2bc
三式相加
a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)
(ab+bc+ca)^2>=3abc(a+b+c)
(10abc)^2>=3abc
abc>=3/100
构造函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ac)x-abc=x3-x2+10tx-t ，t为待求，转化为三次方程有三正根问题