已知函数f（x）=e^x-x^2+ax-1过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点M,求切点M的横坐标若x大于等于0,不等式f(x)大于等于0恒成立,试确定实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 22:23:26
已知函数f（x）=e^x-x^2+ax-1过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点M,求切点M的横坐标若x大于等于0,不等式f(x)大于等于0恒成立,试确定实数a的取值范围
已知函数f（x）=e^x-x^2+ax-1
过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点M,求切点M的横坐标
若x大于等于0,不等式f(x)大于等于0恒成立,试确定实数a的取值范围
已知函数f（x）=e^x-x^2+ax-1过原点的直线与曲线y=f(x)相切于点M,求切点M的横坐标若x大于等于0,不等式f(x)大于等于0恒成立,试确定实数a的取值范围
1)
设切点（x,y）
首先求切线的斜率
f'(x)=e^x-2x+a
而已知是过原点的直线,所以斜率也满足
k=y/x=(e^x-x^2+ax-1)/x
根据上面两个式子相等
得到,
e^x-2x+a=(e^x-x^2+ax-1)/x
求的,（x-1)e^x=x^2-1
e^x=x+1
求的x=0
所以,切点为(0,0)
2)
x>=0时,f(x)=e^x-x^2+ax-1>=0恒成立
显然,当x=0时,0>=0恒成立,此时a∈R
当x>0时,a>(1+x^2-e^x)/x恒成立
所以转化成了函数g(x)=(1+x^2-e^x)/x的在x>0上的最大值问题了,下面我们求导来求
g(x)=(1+x^2-e^x)/x
g'(x)=[x^2+(1-x)e^x-1]/x^2
因为g'(x)无法判断正负,那么我们还得假设h(x)=x^2+(1-x)e^x-1根据他的单调性判定正负
.
下面你就自己解一下了O(∩_∩)O哈!
这道题考的第二问里面是一个关于恒成立的题目,一般我们都是经过恒等变形,将未知变量移到一边去,这样就转化成了求一个函数的最大值或者最小值问题了,这是典型例题,希望哈好搞懂,而至于下面解法中的关于导函数无法判断正负的时候,我们还需要另外设一个函数等于导函数的某一部分,这样子才能求解