一道解析几何（高二）的数学题已知圆：X的平方+Y的平方-9X=0,与顶点在原点O,焦点在X轴上的抛物线交于A,B两点,三角形OAB的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 16:49:52
一道解析几何（高二）的数学题已知圆：X的平方+Y的平方-9X=0,与顶点在原点O,焦点在X轴上的抛物线交于A,B两点,三角形OAB的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程.
一道解析几何（高二）的数学题
已知圆：X的平方+Y的平方-9X=0,与顶点在原点O,焦点在X轴上的抛物线交于A,B两点,三角形OAB的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程.
一道解析几何（高二）的数学题已知圆：X的平方+Y的平方-9X=0,与顶点在原点O,焦点在X轴上的抛物线交于A,B两点,三角形OAB的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程.
由于圆：x^+y^-9x=o可以化成(x-9/2)^+y^=(9/2)^,可以得出此圆圆心在x轴上,对称于x轴,且交x轴于0（0,0）与C（9,0）两点,OC必为圆的直径
因为抛物线顶点是原点,焦点在x轴上,并与圆相交,故其开口方向必为向右,可设其解析式为y^=2px(p>0)
联立圆与抛物线的解析式可得x=0或9-2p
由于抛物线也是关于x轴对称的,所以可以轻易得出A,B两点关于x轴对称,故A,B横坐标相等,都为9-2p,纵坐标则是互为相反数,可设A为(x1,y1),B为(x1,-y1),其中x1=9-2p,且有y1^=2px1
设抛物线焦点为H,则此H点亦为三角形ABC的垂心,连接BH,AC,则必有BH⊥OA,而OC以证得为圆的直径,故有AC⊥OA,所以有AC‖BH,直线AC与BH的斜率相等
直线AC的斜率可通过A（x1,y1）与C（9,0）表示成：k(AC)=(y1-0)/(x1-9)=y1/(x1-9)
则k(BH)=k(AC)=y1/(x1-9)
而B的坐标刚才所设为(x1,-y1),于是直线BH的解析式可表示成：
y-(-y1)=[y1/(x1-9)]*[x-x1]
而由于H在x轴上,故只要确定其横坐标即可,于是令y=0,整理上式可得：
x=2x1-9
把前面所求得的x1=9-2p代入可得：
x=9-4p
此值为H点横坐标的一个表达式
而H点位抛物线的交点,从所设表达式可以得出H点坐标为（p/2,0）
于是有9-4p=p/2
得p=2
所以抛物线方程为y^=4x