可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/09 09:25:08
可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
可导的偶函数为什么有f‘(x)=[f(-x)]',可导的奇函数为什么有f'(x)=-[f(-x)]'
求证:可导偶函数的导函数是奇函数
证明:设f(x)是可导偶函数,g(x)是f(x)的导函数
则f(-x)=f(x)
∵f(x)是可导函数
∴f(x)在x=x'处左右导数相等
即:lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
设x'是f(x)的任一自变量
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx
g(-x')=lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx=lim[f(x'-Δx)-f(x')]/Δx
g(x')=lim[f(x'+Δx)-f(x')]/Δx=lim[f(x')-f(x'-Δx)]/Δx
=lim[f(-x')-f(-x'+Δx)]/Δx
=-lim[f(-x'+Δx)-f(-x')]/Δx
=-g(-x')
即:g(x')=-g(-x')
∵x'具有任一性
∴可导偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数.
可导奇函数也是同理
任何题目要究其根源,就要从概念着手.奇函数为函数上的点关于原点对称,结合图像就更好理解.同理可证偶函数
有偶函数性质 f(-x)=f(x)则[f(-x)]'=f'(x)
奇函数 f(-x)=-f(x),则[f(-x)]'=-f'(x),可以得到结果。希望对你有所帮助~
画图像看最直接了。不画图的话:偶函数f'(x)=[f(x)]'=[f(-x)]'=-f'(-x)导数是奇函数;同理奇函数f'(x)=[f(x)]'=[-f(-x)]'=-[f(-x)]'=f'(-x)导数为偶函数。复合函数求导。
此文有误,偶函数有f'(-x)=—f'(x),奇函数f'(-x)=f‘(x)
1.设f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),两边求导:f'(-x)*(-1)=f'(x)(复合函数的求导,涉及到链法则)即f'(-x)=-f'(x),偶函数的导数是奇函数。
2.设f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),两边求导,f'(-x)*(-1)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),奇函数的导数是偶函数。
偶函数关于Y轴对称,正X和负X在Y轴上的值相同——————1
奇函数关于原点对称,正X和负X在Y轴上的值绝对值相同——————2
导数换个理解方法就是增量的曲线,类似于物理中速度和加速度的关系。由1 2可知,可导的偶函数f‘(x)和[f(-x)]'在Y轴上增量相同,,可导的奇函数f'(x)和-[f(-x)]'在增量上相同...
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偶函数关于Y轴对称,正X和负X在Y轴上的值相同——————1
奇函数关于原点对称,正X和负X在Y轴上的值绝对值相同——————2
导数换个理解方法就是增量的曲线,类似于物理中速度和加速度的关系。由1 2可知,可导的偶函数f‘(x)和[f(-x)]'在Y轴上增量相同,,可导的奇函数f'(x)和-[f(-x)]'在增量上相同
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