微积分问题~~

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微积分没有问题。各种积，各种导，使劲积，使劲导！

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的...

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微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。数学可以作为自然科学的理想工具，在于这种工具可以较方便定量的处理自然界的问题。其中一些自然界的问题，常量数学是处理不了的，非用微积分不可。可是为什么常量数学不行，微积分就可以呢？多数人是回答不了的，就连数学家也不能很好的回答！许多学习微积分的初学者，不能理解微积分的方法。这是有原因的，因为他们的哲学基础薄弱，即使学过却也不理解。微积分不在于领悟极限的δ定义，微积分的出现本来就比极限δ定义至少早了150年呢！学习者其实应该反思，微积分比常量数学高明多少；什么样的方法研究自然界是有效的；对人的意识和自然界应该有什么样的态度！ 《微积分大意部分简单说明》 一、部分马克思主义哲学的简单内容 一、哲学的“哲”的源学含义 英语 philosophy Philos （爱） Sophia（智慧） 汉语，中国古代的“哲”字，就是智慧的意思，经日本学者西周的翻译，古希腊爱智慧的学问就叫哲学。 在亚里士多德的知识分类中，哲学又被称为形而上学。 亚里士多德把人类的知识分为两大类，第一类知识是研究抽象的超验的对象，被称为第一哲学;第二类知识是研究具体的经验的对象，被称为第二哲学，也叫物理学。亚里士多德去世之后，他的学生们在编辑老师的著作时，把第一哲学放在了第二哲学之后出版，中国人在最初翻译亚里士多德的哲学著作时，采用直译的方式，就把第一哲学翻译为物理学之后。后来才根据中国古代《易经》系辞中的两句话：形而上者谓之道，形而下者谓之器，把哲学译为形而上学。 二、哲学是理论化、系统化的世界观 1.从哲学的研究对象角度下的定义。 2.世界观是人们对整个世界的根本看法。 3.方法论是人们在一定的世界观指导下认识和改造世界的根本方法。 三、哲学是关于自然知识、社会知识和、思维知识的概括和总结 四、理解微积分需要了解的哲学原理 1、自然界与人的辩证关系： 自然界先于人和人的意识而存在；在人类出现之后，自然界的存在与发展也不依赖于人的意识。所以说，自然界的存在与发展是客观的。 2、哲学上的物质 马克思主义哲学把不依赖于人的意识、并能为人的意识所反映的客观实体叫做物质，指 出整个世界是客观存在的物质世界，世界的本质是物质。 3、什么是人的意识 意识是客观存在在人脑中的反映。（意识无论正确与错误都是一种反映！） 4、物质与运动的辩证关系 物质是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。（在后面的微积分内容，会看到相对论效应。）——注意：函数与自然界辩证法要用这一条。 可以了，要理解微积分和相对论效应（你不用追着光跑！），这几条就足够了。有能力的可以看其它哲学的内容。 二、常量数学的哲学分析 1、常量数学的概念 所谓常量数学指：初等数学，即从原始社会到17世纪中叶形成的数学。研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。 2、常量数学的基本组成 初等数学在时间上可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期。至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。 所以，常量数学的组成可以认为是：算术+初等代数+初等几何，再加上一点点极限的原始理论。比如，我国魏晋时期杰出的数学家刘微创立了“割圆术”曾说“割之弥细，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。” 和庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这些均是朴素的、很典型的极限概念。 奇怪了，在古希腊既然有了“极限理论”怎么就生不出微积分呢？原因在于没有函数的理念！首先，微积分不是极限的必然产物，而是函数的必然产物。所以中间掉了一部分，是建不起来微积分理论的，甚至可以说极限是函数的衍生物。 3、常量数学在哲学上的辩证分析 先提一提算术，其实是一种人为的约定，起源于原始的劳动计数和收集。这是一种人特有的意识，对自然活动的一种反映。假如，你旁边有一个人和一只狗，你说：1+1=3；旁边的人就会指出：不对！1+1=2，我相信你旁边的狗是不会有意见的。下面看一看初等几何（欧几里得几何），几何少不了要研究图形。于是欧几里得说： 1. 点是没有部分的那种东西。 2. 线是没有宽度的长度。 3. 直线是同其中各点看齐的线。 4. 面是只有长度和宽度的那种东西。 5. 面的边缘是线。 6. 平面是与其上直线看齐的那种东西。 ········ 15.圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点年到该线的所有直线都彼此相等。 几乎都是从哲学意义上去定义的，我们不禁要问，“没有部分的那种东西”和“只有长度和宽度的那种东西”是什么东西呢？“没有部分”存在吗？我们能够看见他们或知晓它们吗?当然，前提是如果这种“东西”存在的话。除此之外，我们能说“点”就在我们心中吗？“点”是虚构的吗？ 在实际处理中，我们是能看到点的。比如，笔尖在纸张上用力轻轻一“按”就得到了点的图形。当然，你们的老师说会告诉你，这个图形没有长度、没有面积、没有体积；就差说这个东西不存在了！美其名约：“这是数学的抽象性！”这是对自然界客观事物的诡辩，不定义的“点”、“线”、“面”是经过抽象的，认为它们不具备自然属性，只有几何特性；然而自然界所有的“点”、“线”、“面”都是客观存在的，均具有自然属性。姑且不谈爱因斯坦的时空观，就算是牛顿的绝对时空观也有：定理I：一切物体总占据着空间且不受影响，并能进行空间交换。 可见，自然界确实找不到没有体积（不占据空间的）点、线、面。于是，初等几何和自然界就必然存在着矛盾。例如平面直角坐标系内的任意曲线（函数、方程）作为自然界的客观实体，元素（点的轨迹——集合）是实实在在的物质，是有长度的！ 可是有长度的点还是点吗？当然不是至少也会是线段，存在却不可度量！可见自然界的“点”不在人的意识定义范围之内（不可度量性）。这就是说，算术也与自然界的矛盾。这样就不能以（算术的度量尺度+初等几何）来描述了，因为无法描述非要描述呢话（点是没有长度的长度）！这是一个典型的罗素驳论：点是长度为0的长度或者点不是长度！到底是什么？这仅仅是表面现象，根本上还是说明了一种辩证关系：自然界是独立的，意识只是人脑的反映。 代数这么样呢？无非就是解方程，x+1=2；则有x=2-1=1。还是纯粹的人的意识，自然界的客观性，基本没有提到！您想，用脱离自然界客观性的初等数学，来研究自然界实实在在的客观事物，能行吗！ 所以，数学在历史的长河中，要等待一种新的理念，来承认自然界的客观性。这样数学才能爆发出，惊人的力量。 启迪：数学方法怎样处理自然界的客观问题 数学对象是自然界的客观实体，方法上就必须保持自然界的客观性是存在的，最终能够回归到自然界，不能停留在意识之上！ 三、17世纪的呐喊 近代科学始祖——笛卡尔 现在我们再次翻开17世纪数学史上波澜壮阔的历史画卷，沿着历史的足迹回到16世纪文艺复兴时期，看一看此时的欧洲人遇到了什么难题？ 从16世纪开始，欧洲资本主义逐渐发展起来，生产实践积累了大量的新经验，科学的发展为技术的更新奠定了新的基础，许多新技术的发明和运用又给科学提供了更丰富的素材，并提出了大量的新问题，其中许多问题摆在了数学家面前，然而，对于机械、建筑、水利、航海、造船、显微镜和火器制造等领域许多数学问题，已有的常量数学已无能为力，人们迫切寻求解决变量的新数学方法。17世纪前半叶，一个崭新的数学分支——解析几何学的创立，标志了近代数学的开端，并为数学的应用开辟了广阔的领域。 “工欲善其事，必先利其器。”首先就需要知道解析几何这一数学工具。 还是有请笛卡尔同志来该我们谈一谈吧。①笛卡尔说：“当时流行的代数学，我觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种真正的数学” “那您找到方法了吗？” ②笛卡尔略带笑容的说：“我的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的”。 “能具体一些吗？” ③笛卡尔继续说：“我在1637年发表了《几何学》，创立了直角坐标系。用平面上的“一点”到两条固定直线的距离来确定“点”的“位置”，用坐标来描述“空间”上的“点”；这样就可以把相互对立着的“数”与“形”统一起来了，于是几何曲线便可与代数方程相结合；从而几何问题就可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，并证明几何性质。“且从运动的角度来看，曲线可以看成点运动的轨迹。” 马克思主义哲学指出：物质与运动的辩证关系：物是运动的物质，运动是物质的运动。运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。离开物质谈运动，或者离开运动谈物质，都是错误的。 既然，要把曲线可以看成点运动的轨迹，就不能不承认点的物质性了。如果点都不存在，那里还有什么运动！ 按照马克思的结论：运动是物质的根本属性和存在方式，物质是运动的主体，物质和运动不可分割。运动论就可以转化为物质论！事实也是这样的：现代的解析几何对，曲线的定义，都在说什么样的点的集合！比较典型的就是，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辨证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”。 其实，变数的最大功绩在于数学上承认了自然界的客观性。数学在历史的长河中，要等新的理念，就是承认自然界的客观性。只有这样的数学，才能应付自然界的客观问题。 四、函数的历史意义 变量数学的中心其实是函数。初等几何否定了点、线、面的物质性，只承认几何特性，是脱离客观实体的客观性的。17世纪笛卡尔建立了解析几何，为函数的建立开辟了道路。由于曲线可以看成点运动的轨迹，即：线是点的集合，以此类推面是线的集合等，承认了它们的自然属性——整体上的认可。而这种观点在逻辑上体现在函数身上，例如：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，P={M|MC=r}隐函数表达式为：x^2+y^2=r^2。所以函数是对数学对象（物质性）的客观反映，在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。这也就是微积分所要反映的基本事实！ 只有承认了自然界客观性的数学，才具有研究自然界的能力。常量数学否定了自然属性——脱离了一定实际，这就限制了其自身对自然界的解决能力；这也就是常量数学与变量数学本质的地方，常量与变量只是一种数学形态的外在表现。我觉得赫曼·威尔在《数学哲学与科学哲学》中问的好：为什么大自然中的事件可由观察和数学分析（微积分）的结合来预言。因为数学分析，一开始就承认了自然界的客观性！正如马克思雄辩的回答那样：“意识能够正确的反映客观事物”。微积分离开了函数，就丢失了灵魂。笛卡尔的解析几何引入了变数，加深了函数的理念 ，同时承认了自然界的客观性。有了函数才能真正的建立起微积分，牛顿——莱布尼兹公式深刻的反映了，自然界整体与局部的客观性的联系。 函数本身是一个自然界的微雕，通过数学分析研究函数就是在研究自然界微雕的局部性质。反过来研究自然界微雕的局部，在还原于函数又能整体上表达自然界（微分方程）。 五、函数局部性质的哲学分析 我们现在知道了，函数是在宏观上，承认自然界客观性的逻辑体现。У=f(x)，既然，在在宏观（整体）上认可了自然属性；这样整体的微观部分具有的客观性也得到了认可，在研究函数的局部性质时，这种客观性就会表达出来。
微积分产生
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
微积分学的创立的意义
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。 不幸的是，由于人们在欣赏微分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。 其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。 直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星：瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、柯西…… 欧氏几何也好，上古和中世纪的代数学也好，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。微积分是与科学应用联系着发展起来的。最初，牛顿应用微积分学及微分方程对第谷浩瀚的天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
微积分的诞生是继Euclid几何建立之后，数学发展的又一个里程碑式的事件。微积分诞生之前，人类基本上还处在农耕文明时期。解析几何的诞生是新时代到来的序曲，但还不是新时代的开端。它对旧数学作了总结，使代数与几何融为一体，并引发出变量的概念。变量，这是一个全新的概念，它为研究运动提供了基础 推导出大量的宇宙定律必须等待这样的时代的到来，准备好这方面的思想，产生像牛顿、莱布尼茨、拉普拉斯这样一批能够开创未来，为科学活动提供方法，指出方向的领袖，但也必须等待创立一个必不可少的工具——微积分，没有微积分，推导宇宙定律是不可能的。在17世纪的天才们开发的所有知识宝库中，这一领域是最丰富的，微积分为创立许多新的学科提供了源泉。
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