求∫ (2x^2-1)/x(x-4)dx 的不定积分 ∫1/√（4x^2+9）dx的不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 10:25:14
求∫ (2x^2-1)/x(x-4)dx 的不定积分 ∫1/√（4x^2+9）dx的不定积分
求∫ (2x^2-1)/x(x-4)dx 的不定积分 ∫1/√（4x^2+9）dx的不定积分
求∫ (2x^2-1)/x(x-4)dx 的不定积分 ∫1/√（4x^2+9）dx的不定积分
第一题：
原式＝2∫｛x^2/［x（x－4）］｝dx－∫｛1/［x（x－4）］｝dx
＝2∫［x/（x－4）］dx－（1/4）∫｛（x－x＋4）/［x（x－4）］｝dx
＝2∫［（x－4＋4）/（x－4）］dx－（1/4）∫［1/（x－4）］dx＋（1/4）∫（1/x）dx
＝2∫dx＋8∫［1/（x－4）］dx－（1/4）ln｜x－4｜＋（1/4）ln｜x｜
＝2x＋8ln｜x－4｜－（1/4）ln｜x－4｜＋（1/4）ln｜x｜＋C
＝2x＋（31/4）ln｜x－4｜＋（1/4）ln｜x｜＋C
第二题：
令x＝（3/2）tanu,得：√（4x^2＋9）＝√［9（tanu）^2＋9］＝3/cosu,
sinu＝√｛（sinu）^2/［（sinu）^2＋（cosu）^2］｝＝√｛（tanu）^2/［（tanu）^2＋1］｝
＝tanu/√［（tanu）^2＋1］＝（2x/3）/√（4x^2/9＋1）＝2x/√（4x^2＋9）,
dx＝（3/2）［1/（cosu）^2］du.
∴原式＝∫［1/（3/cosu）］（3/2）［1/（cosu）^2］du
＝（1/2）∫（1/cosu）du
＝（1/2）∫［cosu/（cosu）^2］du
＝（1/2）∫｛1/［1－（sinu）^2］｝d（sinu）
＝（1/4）∫｛（1＋sinu＋1－sinu）/［（1－sinu）（1＋sinu）］｝d（sinu）
＝（1/4）［1/（1－sinu）］d（sinu）＋（1/4）∫［1/（1＋sinu）］d（sinu）
＝－（1/4）ln｜1－sinu｜＋（1/4）ln｜1＋sinu｜＋C
＝（1/4）ln｜1＋2x/√（4x^2＋9）｜－（1/4）ln｜1－2x/√（4x^2＋9）｜＋C
＝（1/4）ln｜√（4x^2＋9）＋2x｜－（1/4）ln｜√（4x^2＋9）－2x｜＋C
＝（14）ln｜4x^2＋9＋4x^2＋4x√（4x^2＋9）｜－（1/4）ln｜4x^2＋9－4x^2｜＋C
＝（1/4）ln｜8x^2＋9＋2x√（4x^2＋9）｜＋C
∫(2x^2-1)dx/[x(x-4)]
=∫[(2x^2-8)+7]dx/[x(x-4)]
=2x+(7/4)∫[x-(x-4)]dx/[x(x-4)]
=2x+(7/4)ln|(x-4)/x|+C
∫dx/√(4x^2+9)
=(1/2)∫d(2x/3)/√[(2x/3)^2+1]
2x/3=tanu √(2x/3)^2+1=secu
全部展开
∫(2x^2-1)dx/[x(x-4)]
=∫[(2x^2-8)+7]dx/[x(x-4)]
=2x+(7/4)∫[x-(x-4)]dx/[x(x-4)]
=2x+(7/4)ln|(x-4)/x|+C
∫dx/√(4x^2+9)
=(1/2)∫d(2x/3)/√[(2x/3)^2+1]
2x/3=tanu √(2x/3)^2+1=secu
sinu=tanu/secu=(2x/3)/√[(2x/3)^2+1]=2x/√(4x^2+9)
=(1/2)∫secu^2du/secu
=(1/2)∫cosudu
=(1/2)sinu+C
=x/√(4x^2+9) +C
收起