设G是三角行ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 03:58:13
设G是三角行ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设G是三角行ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设G是三角行ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
为方便,以下行文省略“向量”二字
已经知道：（56sinA）向量GA+（40sinB）向量GB+（35sinC）向量GC=向量0 ,则角B
设：三角形的外接圆半径为R,边长顺次为a,b,c
上式各项乘以R,由正弦定理：
56aGA+40bGB+35cGC=0
又由中线的性质的向量加法法则：
3GA+BA+CA, 3GB=CB+AB, 3GC=AC+BC
代入上式得：
3{56a(BA+CA)+40b(AB+CB)+35c(AC+BC)}=0
又CA=CB+BA,上式化为：
56a(BA+CB+BA)+40b(AB+CB)+35c(-CB-BA+BC)=0
整理:
56a(2BA+CB)+40b(AB+CB)+35c(-BA+2BC)=0
按BA,BC整理：
(112a-40b-35c)BA+(-56a-40b+70c)BC=0
由于BA,BC均为非零向量,且不共线,故上式当且仅当其系数均为零时成立.即我们有方程组：
112a-40b-35c=0 (1)
-56a-40b+70c=0 (2)
这是含有三个未知数的两个一次方程构成的三元一次方程组.它有无数组解.（这是线性代数的内容）这些解对应的是相似的三角形.我们求其任一解即可.
不妨令c=56,(这是我事先试验好的）
有112a-40b=35*56 (1)
-56a-40b=-70*56 (2)
解得a=35,b=49, (c=56)
即一组解为a=35,b=49,c=56
由此,按余弦定理：
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)
=1960/(2*1960)=1/2
即知：角B=60度
G是△ABC的重心，
则：GA+GB+GC=0 （都是向量） GB=-GA-GC
又从已知得：
GB=(-56sinA/40sinB)GB+(-35sinC/40sinB)GC
由向量的唯一分解定理得：
56sinA/40sinB=1
35sinC/40sinB=1
再由正弦定理得：a=40b/56=5b/7
c=40b/35=8b/...
全部展开
G是△ABC的重心，
则：GA+GB+GC=0 （都是向量） GB=-GA-GC
又从已知得：
GB=(-56sinA/40sinB)GB+(-35sinC/40sinB)GC
由向量的唯一分解定理得：
56sinA/40sinB=1
35sinC/40sinB=1
再由正弦定理得：a=40b/56=5b/7
c=40b/35=8b/7
用余弦定理得：
cosB=1/2 B=60度
收起