设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 20:12:33
设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设G是三角形ABC的重心,且56sinA乘向量GA+40sinB乘向量GB+35sinC乘向量GC=0向量,求角B=?
设△ABC的外接圆半径为R,对应边长为a,b,c.
因为：56sinAGA+40sinBGB+35sinCGC=0
所以：56aGA+40bGB+35cGC=0.
又由重心的性质和向量加法法则：3GA=BA+CA,3GB=CB+AB,3GC=AC+BC.
代入上式得：56a(BA+CA)+40b(AB+CB)+35c(AC+BC)=0.
又CA=CB+BA,上式化为：56a(BA+CB+BA)+40b(AB+CB)+35c(-CB-BA+BC)=0,
整理得 56a(2BA+CB)+40b(AB+CB)+35c(-BA+2BC)=0.
按BA,BC整理：(112a-40b-35c)BA+(-56a-40b+70c)BC=0
由于BA,BC均为非零向量,且不共线,故上式当且仅当其系数均为零时成立.即
112a-40b-35c=0,-56a-40b+70c=0.
==> b=7a/5,c=8a/5.
由余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2,
==> 角B=60°.
以重心建立直角坐标系，由((X1+X2+X3)/3=0，（Y1+Y2+Y3)/3=0可知
GA+GB+GC=0
所以：56sinA=40sinB=35sinC，（对于非0向量的GA、GB、GC，如果不成比例变化是无法保证等式结果不变的）
由楼下提醒，记起正玄定理，使用之，可化简为
56a=40b=35c
余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)...
全部展开
以重心建立直角坐标系，由((X1+X2+X3)/3=0，（Y1+Y2+Y3)/3=0可知
GA+GB+GC=0
所以：56sinA=40sinB=35sinC，（对于非0向量的GA、GB、GC，如果不成比例变化是无法保证等式结果不变的）
由楼下提醒，记起正玄定理，使用之，可化简为
56a=40b=35c
余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=1/2
角B=60°
收起
G是△ABC的重心，
则：GA+GB+GC=0 （都是向量） GB=-GA-GC
又从已知得：
GB=(-56sinA/40sinB)GB+(-35sinC/40sinB)GC
由向量的唯一分解定理得：
56sinA/40sinB=1
35sinC/40sinB=1
再由正弦定理得：a=40b/56=5b/7
c=40b/35=8b/...
全部展开
G是△ABC的重心，
则：GA+GB+GC=0 （都是向量） GB=-GA-GC
又从已知得：
GB=(-56sinA/40sinB)GB+(-35sinC/40sinB)GC
由向量的唯一分解定理得：
56sinA/40sinB=1
35sinC/40sinB=1
再由正弦定理得：a=40b/56=5b/7
c=40b/35=8b/7
用余弦定理得：
cosB=1/2 B=60度
收起
因为向量GA+向量GB+向量GC=0向量，因此，可以将向量GC用向量GA和向量GB表示，则有（56sinA-35sinC)向量GA+(40sinB-35sinC)向量GB=0向量
又向量GA和向量GB不共线，所以有
56sinA-35sinC=0
40sinB-35sinC=0