任意多边形的重心是什么
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 09:57:24
任意多边形的重心是什么
任意多边形的重心是什么
任意多边形的重心是什么
平面多边形,不管多复杂,理论上都可以用尺规作图,作出它的重心
三角形的重心作法很容易,我就不多说了,
对于任意多边形,甚至是几个彼此分开的多边形组成的复杂图案,重心作图法就比较 复杂,需要用到一些复杂的定理
首先来看下面的几个定理(它们的证明比较复杂,你可以自己尝试证明)
定理1：由两个图形A,B合并而成的一个图形C,则C的重心必在A的重心与B的重心连接的线段上.(注意,此定理也适用于A B彼此分开,没有公共点的情形)
定理2：由两个A,B合并而成的一个图形C,A的重心为点a, B的重心为点b, C的重心为点c, A的面积为Sa, B的面积为Sb,则下面条件成立：
(1)点c 必在线段 ab 上
(2) ac * Sa = bc * Sb
根据以上定理,特别是定理1,我们就可以从理论上用尺规作图作出作任意多边形的重心.
1.四边形的重心作法：连接出四边形的一条对角线,这样四边形就变成两个三角形的组合体,分别作出两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段AB,同样,连接出四边形的另一条对角线,四边形就变成另外两个三角形的组合体,分别作出这两个三角形的重心,并连接两个重心成一条线段CD,则线段AB,CD的交点就是四边形的重心.(根据定理1)
2.五边形的重心作法：连接出五边形的任一条对角线,将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体,分别作出三角形的重心,和四边形的重心,并连成线段AB；连接五边形的另外一条对角形,将五边形分为另1个三角形与四边形的组合体,分别作出三角形与四边形的重心,并连接成线段CD；则AB、CD的交点就是五边形的重心.
3、用数学归纳法,对于六边形、七边形,N边形,都可以用上述方法,先连接出一条对角线,将N边形化为一个三角形与(N-1)边形,或四边形与(N-2)边形,然后分别作出重心,并连接成线段,然后再连接另外一条对象线,分别作出两个组合体的重心并连接成线段,两条线段的交点就是N边形的重心.