证明：在三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,√a,√b,√c也成等差数列,求证：三角形ABC为正三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/05 23:33:02
证明：在三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,√a,√b,√c也成等差数列,求证：三角形ABC为正三角形.
证明：在三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,√a,√b,√c也成等差数列,求证：三角形ABC为正三角形.
证明：在三角形ABC中,三边a,b,c成等差数列,√a,√b,√c也成等差数列,求证：三角形ABC为正三角形.
由题设有
2b=a+c ①
2√b=√a+√c ②
把②两边平方,得
4b=a+c+2√(ac) ③
然后③-2①,得
2√(ac)-a-c=0
即
（√a-√c）^2=0
所以
√a=√c
亦即
a=c
再由 b=(1/2)(a+c)=a=c
2b=a+c
2√b=√a+√c
4b=a+c+2√a*√c=2a+2c
a+c=2√a*√c
(√a-√c)^2=0
a=c
4b=2a+2c=4a=4c
a=b=c
三角形ABC为正三角形。
因为三边a,b,c成等差数列，√a, √b, √c也成等差数列
所以2b=a+c,2√b=√a+√c
将2b=a+c两边平方，得4b²=a²+c²+2ac a²+c²=4b²-2ac
将2√b=√a+√c两边平方，得4b=a+c+2√ac=2b+2√ac
所以b=√ac b²=ac
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因为三边a,b,c成等差数列，√a, √b, √c也成等差数列
所以2b=a+c,2√b=√a+√c
将2b=a+c两边平方，得4b²=a²+c²+2ac a²+c²=4b²-2ac
将2√b=√a+√c两边平方，得4b=a+c+2√ac=2b+2√ac
所以b=√ac b²=ac
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(3b²-2ac)/(2ac)=(3ac-2ac)/(2ac)=1/2
所以B=60°
又因为a²+c²=4b²-2ac b²=ac
所以a²+c²=4ac-2ac=2ac
所以（a-c)²=0
所以a=c
所以三角形ABC为正三角形
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证明：依题意有
a+c=2b，①
√a+√c=2√b。②
②式两边平方得a+c+2√(ac)=4b,③
③-①得2√(ac)=2b,ac=b²，④
由④得a=b²/c,⑤
把⑤代入①得b²/c+c=2b，整理得c²-2bc+b²=0，即（c-b）²=0，故c=b。把c=b代入①得a=b。所以...
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证明：依题意有
a+c=2b，①
√a+√c=2√b。②
②式两边平方得a+c+2√(ac)=4b,③
③-①得2√(ac)=2b,ac=b²，④
由④得a=b²/c,⑤
把⑤代入①得b²/c+c=2b，整理得c²-2bc+b²=0，即（c-b）²=0，故c=b。把c=b代入①得a=b。所以a=b=c,所以△ABC是等边三角形。
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