已知ABC为实数,a²＋b²＋c²＝1,则ab+bc+ca的最大值为?最小值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/05 18:08:06
已知ABC为实数,a²＋b²＋c²＝1,则ab+bc+ca的最大值为?最小值?
已知ABC为实数,a²＋b²＋c²＝1,则ab+bc+ca的最大值为?最小值?
已知ABC为实数,a²＋b²＋c²＝1,则ab+bc+ca的最大值为?最小值?
最小值-1/2最大值1
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
ab+bc+ac=1/2((a+b+c)^2-a^2-b^2-c^2)=1/2((a+b+c)^2-1)
令a=sinxsiny ,b=cosxsiny,c=cosy,
a+b+c=(sinx+cosx)siny+cosy=2^(1/2)sin(x+P)siny+cosy=
(2(sin(x+P))^2+1)^(1/2)sin(x+P)sin(y+Q)
故0<=（a+b+c）^2<=3
故-1/2<=ab+bc+ac<=1
2ab≤a²+b²
2bc≤b²+c²
2ca≤c²+a²
相加得：2(ab+bc+ca)≤2（a²+b²+c²）
故最大值1
(a-b)^2>=0
2ab≤a²+b²
同理
2bc≤b²+c²
2ca≤c²+a²
相加得：2(ab+bc+ca)≤2（a²+b²+c²）
ab+bc+ca<=1
(a+b)^2>=0
-2ab≤a²+b²
同理...
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(a-b)^2>=0
2ab≤a²+b²
同理
2bc≤b²+c²
2ca≤c²+a²
相加得：2(ab+bc+ca)≤2（a²+b²+c²）
ab+bc+ca<=1
(a+b)^2>=0
-2ab≤a²+b²
同理
-2bc≤b²+c²
-2ca≤c²+a²
相加得：-2(ab+bc+ca)≤2（a²+b²+c²）
ab+bc+ca>=-1
最大值为1,最小值为-1
收起
楼上的最小值-1你取得到吗，等号能成立吗？
最大值好求，ab+bc+ca≤（a²+b²）/2+（b²+c²）/2+（c²+a²）/2=1
关键是最小 值，最小值为-1/2，至于为什么，我暂时还没有想到有什么好的高中方法，但是在大学里面就可以很轻松的解决，方法如下，如果你高中数学好的话，应该不难看懂：
设f（a，b，...
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楼上的最小值-1你取得到吗，等号能成立吗？
最大值好求，ab+bc+ca≤（a²+b²）/2+（b²+c²）/2+（c²+a²）/2=1
关键是最小 值，最小值为-1/2，至于为什么，我暂时还没有想到有什么好的高中方法，但是在大学里面就可以很轻松的解决，方法如下，如果你高中数学好的话，应该不难看懂：
设f（a，b，c）=ab+bc+ca+t(a²＋b²＋c²)
将f（a，b，c）分别对a，b，c求偏导（就是求导）并令之为0
得：b+c+2at=0,a+b+2ct=0,a+c+2bt=0并且有a²＋b²＋c²＝1
方程组的解即为ab+bc+ca取极值时的情况，显然方程组有很多一解为满足ab+bc+ca取极大值的解a=b=c,这就是其取最大值的情况，
接下来分析一组满足ab+bc+ca取极小值的解a=0，b=根号2/2，c=-根号2/2，这就是其取最小值的情况
收起
ab+bc+ca
=1/2(a²＋b²＋c²)+ab+bc+ca-1/2
=1/2(a²＋b²＋c²+2ab+2bc+2ca)-1/2
=1/2(a+b+c)²-1/2
\\
ab+bc+ca
=a²＋b²＋c²+ab+bc+ca-1
=1/2...
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ab+bc+ca
=1/2(a²＋b²＋c²)+ab+bc+ca-1/2
=1/2(a²＋b²＋c²+2ab+2bc+2ca)-1/2
=1/2(a+b+c)²-1/2
\\
ab+bc+ca
=a²＋b²＋c²+ab+bc+ca-1
=1/2{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}-1
但{}不能等于0
ab+bc+ca
=-（a²＋b²＋c²）+ab+bc+ca+1
=-1/2{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}+1
收起
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