问个很菜的高中函数问题f（x）是定义域为R的偶函数,f(x+1) = -f(x),怎么得到：f(x+2)=f(x)?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 12:03:27
问个很菜的高中函数问题f（x）是定义域为R的偶函数,f(x+1) = -f(x),怎么得到：f(x+2)=f(x)?
问个很菜的高中函数问题
f（x）是定义域为R的偶函数,f(x+1) = -f(x),怎么得到：f(x+2)=f(x)?
问个很菜的高中函数问题f（x）是定义域为R的偶函数,f(x+1) = -f(x),怎么得到：f(x+2)=f(x)?
因为：
f(x+1)=-f(x),
所以：
f(x+2)
=f(x+1+1)
=-f(x+1)
而f(x+1)=-f(x),代入上式,有：
f(x+2)
=-[-f(x)]
=f(x)
f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1+x)=-(-f(x))=f(x)
f(x+2)=f[-(x+2)]=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=-f(x+1)=f(x)
f(x)是偶函数这个条件是多余的.由 f(x+1)=-f(x) 得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即: f(x+2)=f(x),也就是说 f(x) 是以2为最小正周期的周期函数
f(x+1)=f(-x-1)(偶函数性质）
=f[(-x-2)+1]
=-f(-x-2)
=-f(x+2)(偶函数性质）
=-f(x)
所以f(x+2)=f(x)
因为f(x+1) = -f(x),
所以f(x)=-f(x-1),(令x+1=x代入上式)
所以有f(x+1)=f(x-1)，
所以有f(x+2)=f(x).
明白？
f(x+2)=f[-(x+2)]=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=-f(x+1)=f(x)
f(x+2)=f[-(x+2)] 由f(x+1) = -f(x)得
f[-(x+2)]=-f[-(x+2)+1] 由f（x）是定义域为R的偶函数得
-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1) 同上
-f(-x-1)=-f(x+1)=f(x) 同上
奇函数f(-x)=-f(x) 偶函数f(-x)=f(x)